Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов и называется число .

Если вектора заданы координатами , , то скалярное произведение .

Из формулы нахождения скалярного произведения можно находить косинус угла между двумя векторами

.

Векторное произведение векторов. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , определяемый тремя условиями :

1. модуль вектора численно равен площади параллелограмма , построенного на векторах и , как на сторонах;

2. вектор и ;

3. вектора образуют правую тройку, т. е. если смотреть с конца вектора на вектора и , то поворот от вектора к по кратчайшему расстоянию виден совершающимся против часовой стрелки.

Если вектора и заданы координатами , , то векторное произведение находится так

Пример. Найти площадь треугольника с вершинами

А ( 1,1,1 ), В ( 2,5,7 ), С ( 3,2,4 ) .

Решение. Рассмотрим вектора .

Найдем их векторное произведение

.

Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах

.

Тогда площадь ΔАВС будет равна половине площади параллелограмма S_Δ = .

Смешанное произведение . Смешанным произведением трех векторов называется число, равное векторно-скалярному произведению векторов . Геометрически смешанное произведение с точностью до знака численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах. Смешанное произведение через координаты векторов выражается в виде

.

Если три вектора компланарны, то их смешанное произведение =0 и наоборот.

Пример. Найти объем тетраэдра с вершинами

А ( 2,-3,5 ), В ( 0,2,1 ), С ( -2,-2,3 ), D( 3,2,4 ).

Решение. Рассмотрим три вектора :

.

Найдем смешанное произведение этих векторов:

Объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, тогда

V_ABCD = .