Основные виды уравнений плоскости.

1) - общее уравнение плоскости ;

2) - уравнение плоскости, проходящей через точку М₁( x₁, y₁, z₁ ) перпендикулярно нормальному вектору ;

3) - уравнение плоскости в отрезках, где а, b, с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ох ,Оy, Оz соответственно ;

4) - уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁( x₁, y₁, z₁ ) , М₂( x₂, y₂, z₂ ) , М₃( x₃, y₃, z₃ ).

Основные виды уравнений прямой.

1) - общее уравнение прямой, как пересечение двух плоскостей , где направляющий вектор прямой находится из векторного произведения нормальных векторов плоскостей

;

2) - каноническое уравнение прямой или уравнение прямой , проходящей через точку М₁( x₁, y₁, z₁ ) параллельно вектору ;.

3) - уравнение прямой, проходящей черездве точки М₁( x₁, y₁, z₁ ) и М₂( x₂, y₂, z₂ );

4) - векторное уравнение прямой, где - радиус-вектор точки, лежащей на прямой, - направляющий вектор прямой, или в параметрической форме .

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле .

Угол между двумя прямыми, заданными в канонической форме , определяется как угол между их направляющими векторами

.

Угол между прямой и плоскостью определяется так :

.

Задача. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1,2,3) параллельно прямой .

Решение. Так как прямые параллельны, значит направляющий вектор для искомой прямой будет таким же, как и для данной, т.е. . Поэтому применяем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А (1,2,3) параллельно вектору , т.е. .

Задача. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-3,5) параллельно прямой, заданной в виде пересечения двух плоскостей: .