Примеры нахождения производных

Занятие №1 Основы дифференциального исчисления. Производная функции

Таблица некоторых производных элементарных функций.

1) (С) ′ = 0; С = const 2)

3) 3а)

4) 4а)

5) 6)

7) 8)

Правила дифференцирования

Пусть u( x ) и v( x )­ – произвольные функции аргумента x. Тогда:

1)

2)

3)

5) Производная сложной функции y = f (u), где u = f(x) :

Примеры нахождения производных

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

6) Зависимость пути S (в метрах), проходимого телом, от времени t (в секундах) определяется законом S = 2 + t³– 3t² + 2t. Найти скорость v и ускорение а через 2 секунды после начала движения тела.

Решение. Скорость тела представляет собой производную от пути по времени:
v = (S)′ = (2 + t ³– 3t² + 2t)′ = 3 t² – 6 t + 2. Через 2 секунды
v (t = 2) = 2 м/с.

Ускорение – это «скорость изменения скорости движения», т.е. ускорение определяется первой производной от скорости или второй производной от пути по времени: a (t) = v (t)′ = S (t) ″ = 6 t – 6.

Через 2 секунды a (t = 2) = 6м/с².

7) Атмосферное давление P с увеличением высоты h над поверхностью Земли изменяется по закону: P = P₀ e^–kh, где P₀ – давление на поверхности Земли, k - коэффициент, который можно считать постоянным для данной температуры. Определить градиент давления.

Решение. Упрощенно, градиент некоторой величины, зависящей от расстояния, представляет собой производную от этой величины по пространственной координате h:

grad P = (P)′_h = – kP_0­ e^–kh_..

Знак «минус» в полученном результате указывает на то, что давление убывает с увеличением высоты над поверхностью Земли.