Примеры и задачи с решениями.

1) Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

· Находим производную заданной функции:

· Так как в точке максимума или минимума функции ее производная равна нулю, находим корни уравнения х² – х = 0.
х (х – 1) = 0 х₁= 0, х₂= 1.

· Чтобы определить, где функция имеет максимум, а где минимум, находим вторую производную заданной функции:

у″ = (х² – х) ′= 2х – 1.

При х₁ = 0 у″ (х₁= 0) = –1 < 0. Значит, в точке х = х₁ = 0 функция имеет максимум.

При х₂ = 1 у″ (х₂= 1) = 1 > 0. Значит, в точке х = х₂ = 1 функция имеет минимум.

· График функции имеет вид:

2) Путь S (в метрах), проходимый движущимся телом, зависит от времени (в секундах) по закону: S = 5 – 13t + 12t² – t³. Определить максимальную скорость тела.

Решение: По заданной зависимости пути от времени установим как скорость движения (производная от пути по времени) зависит от времени:

v (t) = S ′ = (5 – 13t + 12t² – t³)′ = –13 + 24 t – 3 t².

Для получения ответа на поставленный в условии вопрос необходимо исследовать на экстремум функцию v (t). Для этого находим производную от скорости и приравниваем ее нулю:

v ′ = (– 13 + 24 t – 3 t² ) ′ = 24 – 6 t = 0 t = 4.

Следовательно, скорость движения экстремальна в момент времени t = 4с. Так как вторая производная от скорости отрицательна (v" = –6) , то через 4 с после начала движения скорость достигает максимального значения v_max = 35 м/с.

3) Найти дифференциал функции y = x ∙sin 2x + x².

Решение. Дифференциал функции – это произведение производной функции на приращение (дифференциал) аргумента: dy = y' dx. Для заданной в условии функции:

dy =d ( x ∙sin 2x + x²) = ( x ∙sin 2x + x²)′∙dx = (sin 2x + 2 x cos 2x +2x) dx.

4) Количество энергии R, теряемое телом человека при испускании им инфракрасных лучей, пропорционально четвертой степени температуры Т:

R = aT ⁴ , где а – постоянная. На сколько процентов увеличилось количество энергии R, если температура тела увеличилась на 2 %?

Решение. При небольшом изменении аргумента (температуры Т) приращение функции (количества энергии R) можно считать примерно равным ее дифференциалу:

∆ R ≈ d R = ( aT ⁴)′ dT = 4 aT ³ dT .

Разделив левую и правую части полученного равенства на R = aT ⁴, получим:

.

Значит, если относительно изменение температуры , то изменение количества излучаемой энергии .

5) Найти частные производные функции двух переменных u = y³ sin² x + 2 y.

Решение.

; .

6) Найти полный дифференциал функции u = x²e^–x 2y + y²sin x.

Решение.

=

^.

7) Тело массой m = 1 кг движется со скоростью v = 1 м/с. На сколько джоулей изменится кинетическая энергия тела, если его массу уменьшить на
20 г, а скорость увеличить на 4 см/с?

Решение. Кинетическая энергия является функцией двух переменных. При малых изменениях массы (∆m = – 0,02 кг) и скорости
(∆v = 0,04 м/с) изменение кинетической энергии примерно равно ее полному дифференциалу:

8) Реакция R (x,t) на x единиц лекарства спустя t часов после его приема описывается зависимостью: , где а – постоянный коэффициент для данного лекарства и данного пациента.

При каком значении дозы x реакция окажется максимальной? Когда наступит максимальная реакция?

Решение. Математически, задача сводится к нахождению экстремумов функции R . Для нахождения максимальной дозы (максимума по x) необходимо найти частную производную , приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение относительно х:

Это уравнение имеет два корня : х₁ =0 и х₂ =

Первый из них соответствует минимуму реакции организма (если доза равна нулю – ничего не вводили), а второй – максимуму. В справедливости этого утверждения легко убедиться и чисто математически, используя правила исследования функций на экстремум.

Таким образом, доза лекарства, обеспечивающая максимальную реакцию:
х = .

Для нахождения времени наступления этой максимальной реакции найдем частную производную и опять же решим соответствующее уравнение относительно t:

= (2x - 3х²) 2 t e^-t - (2ax- 3x²) t² e^-t = 0.

Это уравнение имеет корни t₁= 0, t₂ = 2. По смыслу задачи и из математического анализа, следует, что первый корень (t₁ = 0) соответствует минимуму реакции, а второй – максимуму. Если, например, в уравнении время определялось в часах, то максимальная реакция наступит через 2 часа.