Примеры решения задач, требующих составления дифференциальных уравнений

1) Определить характер движения тела (зависимость пути S от времени t), если на тело не действует сила F.

Решение.

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение тела в этом случае, представляют собой второй закон Ньютона:

Считая, что масса m ¹ 0 , получим, что в этом случае ускорение равно нулю и движение происходит с постоянной скоростью v. Для установления зависимости S=f(t) учтем, что скорость движения – это производная от пути по времени и получим уравнение:

В результате интегрирования находим:

S = v t + C, Þ S = v t + S₀ ,

где C – произвольная постоянная, которая имеет смысл пути, пройденному к начальному моменту времени, и может быть определена из начального условия:
при t = 0 S = S₀ .

Полученное решение представляет собой уравнение равномерного прямолинейного движения. Таким образом, если на тело не действует сила
(F = 0), то тело сохраняет состояние покоя (частный случай v = 0), или равномерного прямолинейного движения. Используя аппарат дифференциальных уравнений, из второго закона Ньютона получаем его первый закон.

2) Установить закон изменения со временем (t) численности бактерий (n), помещенных в питательную среду .

Решение.

Для составления дифференциального уравнения, отражающего существование бактерий в этих условиях, необходим некоторый факт, который следует записать в математической форме. На основании экспериментальных данных и общих соображений таким фактом может служить утверждение: «скорость размножения бактерий (математически ) пропорциональна их числу (n)в данный момент времени».

Таким образом, необходимое дифференциальное уравнение имеет вид:

где к - доступный экспериментальному определению коэффициент пропорциональности, зависящий от вида бактерий и параметров среды их обитания. Дополнительные данные, необходимые для решения задачи следуют из начального условия: при t = 0, n = n₀ , т.е. в начальный момент времени количество бактерий считается известным и равным n₀ .

Для решения уравнения произведем разделение переменных и последующее интегрирование:

Произвольную постоянную в уравнении удобно представить в виде lnС. Из начального условия: C = n₀.

Решая логарифмическое уравнение с учетом начального условия, получим искомый закон изменения числа бактерий со временем:

.