Примеры решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных

1) Найти общее решение уравнения у′ – х² = 0.

Представим исходное уравнение в виде:

(1)

В полученном уравнении выполнено разделение переменных, состоящее в том, что искомая функция и ее дифференциал выносятся в одну часть уравнения, а аргумент и его дифференциал – в другую.

Для получения решения необходимо в уравнении (1) перейти от дифференциала dy к функции y. Поэтому произведем интегрирование его левой и правой части:

(2)

При нахождении неопределенных интегралов появляются произвольные постоянные С₁ и С₂. Их следует объединить в одну постоянную С. Окончательно:

(3)

Формула (3) есть общее решение дифференциального уравнения (1). Легко доказать, что функция (3) действительно решение уравнения (1), поскольку ее подстановка в уравнение (1) обращает последнее в тождество.

Произвольная постоянная С может быть определена, если наряду с исходным дифференциальным уравнением заданы некоторые добавочные сведения – их называют начальными условиями. Например: при х = 0 у = 3. Это начальное условия при подстановке его в общее решения (3) позволяет найти постоянную С :

3 = 0 + С Þ С = 3.

Тогда из общего решения для данного начального условия получим частное решение уравнения (1), не содержащее произвольной постоянной:

2) Найти частное решение уравнения

у′ (х + 2) – у = 0, если у = 6 при х = 1.

Перепишем исходное уравнение в виде

.

Интегрируя правую и левую части последнего выражения, получим:

.

Общее решение заданного уравнения: у = С (х + 2) .

Из начального условия следует: С = 2.

Частное решение уравнения: у = 2 (х + 2) .