Под устойчивым принято понимать такое состояние, в которое система возвращается при любых малых от него отклонениях.

Явление потери упругой конструкцией исходной формы равновесия под воздействием статической нагрузки носит название потери статической устойчивости. Для подавляющего большинства конструктивных элементов, особенно в летательных аппаратах, это явление совершенно недопустимо.

Поскольку конструкции ЛА требуют предельного облегчения, они состоят, как правило, из тонкостенных оболочек и панелей. Такие элементы, особенно изготовленные из современных материалов, способны выдерживать значительные растягивающие напряжения. Однако они могут терять устойчивость уже при незначительных сжимающих напряжениях, называемых критическими. Поэтому именно критические напряжения для большинства конструктивных элементов ЛА оказываются при проектировании определяющими. Именно стремление поднять критические напряжения как можно выше и определяет "внутренний облик" конструкций ЛА: каркасированные оболочки; панели, оребренные тонкостенными стрингерами; многослойные листы обшивки с легким заполнителем из пеноматериалов или металлических сот и тому подобное. И чем прочнее становятся материалы, тем острее встает проблема устойчивости изготовленных из них элементов.

Опишем и проиллюстрируем основные понятия теории упругой устойчивости.

Большинство характерных особенностей, связанных с потерей упругими системами статической устойчивости, можно уловить на системах с двумя и даже одной степенями свободы. Поскольку эти системы допускают элементарное аналитическое описание, исследование их поведения наиболее наглядно.

Неоднозначность состояний упругого равновесия

При одних и тех же условиях нагружения и закрепления упругая система может иметь несколько различных состояний упругого равновесия.

Это утверждение на первый взгляд противоречит тому, что задача теории упругости имеет единственное решение. На самом деле противоречия нет. Единственность решения задачи теории упругости обусловлена гипотезой о малых перемещениях, от которой в теории упругой устойчивости мы отказываемся. В результате вместо линейных уравнений теории упругости мы будем рассматривать нелинейные уравнения, имеющие не единственное решение.

Рассмотрим наипростейший пример о равновесии абсолютно жесткого стержня, закрепленного на упругом шарнире и загруженного вертикальной силой.

Жесткость упругого шарнира с линейной характеристикой обозначим k. Это означает, что момент в шарнире

. (1.1)

Уравнение равновесия такой системы

трансцендентно и, как легко видеть из графиков на рис.1.2a, имеет в диапазоне одно или три решения в зависимости от величины

.

Другая графическая интерпретация дана на рис.1.2б .

Таким образом, при стержень имеет только вертикальное положение равновесия, а при может наряду с этим иметь и симметричные отклонения.

Рассмотрим другой аналогичный пример (рис.1.3).

Пример 1.2

Уравнение равновесия такой системы

(1.3)

распадается на два

и имеет в диапазоне решения:

при любом .

при .

Уравнение (1.3) графически интерпретировано на рис.1.4.

Итак, для отыскания положений равновесия системы, отличных от ненагруженного, необходимо рассматривать нелинейные уравнения равновесия в отклоненном состоянии.

В линейной теории упругости уравнения равновесия записывались для недеформированного состояния и определяли только одно положение равновесия. Тот факт, что состояний равновесия может быть несколько, порождает естественный вопрос - какое же из них реализуется?

Устойчивые и неустойчивые состояния равновесия

Под устойчивым принято понимать такое состояние, в которое система возвращается при любых малых от него отклонениях.

Самый простой и наиболее наглядный пример, поддающийся элементарной интуитивной оценке

Обратимся к рассмотренным выше примерам.

Пример 1.1

.

Для систем с одной степенью свободы Э оказывается функцией одной переменной

. (1.4)

Ее минимум определяется производными

,

. (1.5)

Приравняв нулю первую производную, получаем уравнение равновесия (1.2). Исследуем знаки второй производной в точках, соответствующих решениям уравнения (1.2).

I.

а) при - положение устойчиво.

б) при - положение неустойчиво.

в) при , и надо исследовать знак высших производных.

2.

отклоненное положение устойчиво.

Это иллюстрирует графическая интерпретация той ситуации, которую мы только что рассмотрели.

Здесь, на рис.1.7, показан график зависимости полной энергии системы от смещения j.

Показана ситуация при различных значениях параметра нагружения .

По знаку второй производной от энергии по перемещению можно судить об устойчивости или неустойчивости состояния.

Пример 1.2

В отличие от Примера 1

и, следовательно,

,

Исследуем знаки производных от энергии

,

.

Приравняв нулю первую производную, получаем уравнение равновесия (1.3).

По знакам второй производной в точках, соответствующих возможным положениям равновесия, судим о поведении системы и ее равновесии

1.

неустойчиво.

При

равновесие неустойчиво.

2.

- неустойчиво.

3. при

неустойчиво.

Графическая интерпретация свидетельствует об устойчивых состояниях