Особые точки и параметры задачи

Точки, в которых диаграмма нагрузка-перемещение расщепляется на две ветви, называются точками ветвления решения или точками бифуркации.

Для диаграммы, соответствующей примеру 1 (рис.2.1а), это точка .

Если нагрузка достигает , стержень вследствие всегда имеющих место случайных возмущений переходит в отклоненное положение равновесия. С ростом нагрузки отклонение нарастает, вообще говоря, плавно, но в окрестности точки бифуркации малому приращению нагрузки соответствуют достаточно большие смещения.

Иначе ведет себя система в Примере 2. При достижении значения (рис.2.1б) система скачком переходит в нижнее положение равновесия.

Точки в которых положение равновесия становится неустойчивым называются критическими, а соответствующие им значения нагрузок - критическим нагрузками.

При разгрузке системы нижнее положение равновесия остается устойчивым вплоть до , и только здесь происходит перескок. Значения` принято называть верхней и нижней критическими нагрузками.

Кроме точек этого типа в теории устойчивости рассматривают также особые точки, характеризующиеся тем, что в них не пересекаются два различных решения, но положение равновесия скачкообразно меняется. Такие точки принято называть предельными.

Пример 2.1

Пусть геометрия системы в ненагруженном состоянии определяется параметрами (рис.2.1), а в состоянии равновесия - параметрами , а также

Полная энергия системы

Положение равновесия определяется условием

(2.1)

Графическая интерпретация уравнения дана на рис.2.3.

При значениях система имеет одно положение равновесия, при - два, а при - три. Для исследования устойчивости системы в этих положениях необходимо оценить знак второй производной от энергии по параметру перемещения.

Аналитически такой анализ довольно трудоемок, но интуитивно ясно, что состояния неустойчивы, поскольку в этих положениях для дополнительного сжатия пружины нужно уменьшить силу .`Поэтому при увеличении силы система скачком переходит из точки А в точку А', а при уменьшении силы - из точки В в точку В'.

Таким образом, значения ` определяют верхнюю и нижнюю критическую нагрузку.

Линеаризованные уравнения

Для систем более сложных, чем рассмотренные, нелинейные уравнения равновесия настолько сложны, что, как правило, получить их аналитическое решение не удается. Численный же анализ, тоже весьма трудоемкий и сложный, не дает возможности провести качественный анализ поведения систем, подобных рассматриваемой, поскольку проводится для конкретных геометрических и жесткостных параметров.

Поскольку потеря статической устойчивости для большинства конструкций недопустима, нас всегда интересует не столько поведение системы в закритическом состоянии (после потери устойчивости), сколько сами критические точки и соответствующие им критические нагрузки. Их удается найти с помощью приближенных линеаризованных уравнений.

Обратимся снова к Примеру 1.1. Линеаризуем уравнение (1.2), т.е. удержим в разложении (2.4) для только первый линейный член.

. (2.5)

Из (2.5) получаем исходную форму равновесия . Кроме этого решения, справедливого при любом параметре уравнение (2.5) при имеет решение , т.е. - любое, но, разумеется, малое. Таким образом мы определили ` .

Уравнение равновесия (1.3) для Примера 1.2 в результате линеаризации принимает вид

(2.6)

и определяет исходную форму равновесия и возможность нетривиального решения при ` .

Линеаризованные уравнения позволяют найти точки бифуркации в заранее известных положениях равновесия, но не дают информации ни о характере этих точек, ни о поведении системы в закритическом состоянии, т.е. при больших отклонениях. Поэтому найти с их помощью предельные точки, в которых нет ветвления форм равновесия, строго говоря, невозможно. Однако, и в этих случаях они могут оказаться полезными.

Например, если в Примере1.З угол мал настолько, что допустимо принять

то это тем более допустимо для функций угла . Тогда вместо (2.I) можно рассматривать приближенное выражение

(2.7)

Это уравнение нельзя назвать линеаризованным, поскольку мы удержали и вторые члены разложения (2.4) . Однако анализировать его значительно легче, чем (2.1). При сделанных допущениях вместо (2.2) имеем

Легко видеть, что эта величина меняет знак при

(2.8)

Подставив (2.8) в (2.7), находим приближенные значения критических нагрузок в этих предельных точках

Исследуем с помощью линеаризованных уравнений систему не с одной, а с двумя степенями свободы.

Пример 2.2

Уравнения равновесия cистемы

(2.9)

где усилия в пружинах:

(2.10)

Система (2.9) после подстановки в нее (2.10) и линеаризации примет вид

(2.11)

Кроме тривиального решения , соответствующего вертикальному положению равновесия стержней, система может иметь и нетривиальные решения , если ее определитель:

(2.12)

Корни уравнения (2.12) дают два значения нагрузки (две точки бифуркации).

Пусть для конкретности . Тогда корни уравнения (2.12)

(2.13)

При найденных значениях нагрузки (2.13) уравнения (2.11) совпадают, что позволяет найти лишь соотношения между и .

(2.14)

которым соответствуют две формы равновесия, найденные с точностью до множителя (рис. 2.7).

Рассмотренный пример позволяет сделать следующие заключения, характерные для всех задач статической устойчивости.

1. Точки бифуркации находятся из условия нетривиальности решения и математически являются собственными значениями задачи.

2. Количество точек бифуркации совпадает с числом степеней свободы системы, если характеристическое уравнение не имеет кратных корней.

3. Формы отклоненного равновесия математически являются собственными функциями задачи и определяются с точностью до амплитуды.