Линеаризованное уравнение устойчивости сжатого стержня

Как уже было показано, задачи устойчивости значительно более чувствительны к детальному характеру нагружения и закрепления систем и к их геометрии, чем задачи определения напряженно-деформированного состояния. Поэтому исследование устойчивости стержней требует дополнительных по отношению к “Сопротивлению материалов” оговорок и ограничений.

Там было приняты допущения:

- о малости перемещений;

- об отсутствии поперечных напряжений в сравнении с продольными;

- о поперечных сечениях, плоских и нормальных к изогнутой оси стержня.

Дополнительно примем следующее:

- ось стержня идеально прямолинейна, нагружение и закрепление осуществляется строго по этой оси;

- внешние силы “мертвые”, то есть не меняют ни величины, ни направления;

- в докритическом состоянии стержень напряжен, но недеформирован, то есть как бы абсолютно жесткий.

Для прямых стержней уравнением равновесия (Рис.5.1а) оказывается

(5.1)

Продольные усилия

(5.2)

будем всегда считать известными.

Таким образом, отклоненное положение равновесия описывается уравнением

(5.8)

Это основное линеаризованное уравнение устойчивости прямых стержней, имеющее в общем случае переменные коэффициенты и справедливое для любых задач в рамках принятых допущений.

Для случаев, когда вся нагрузка на стержень пропорциональна только одному параметру , уравнение (5.8) можно переписать в виде

(5.9)

где` - закон распределения продольных усилий в стержне при .

Таким образом задача по поиску нетривиальных форм равновесия представляет собой задачу на собственные значения: найти собственные значения параметра , при которых уравнение (5.9) имеет нетривиальные решения (собственные формы), отвечающие однородным граничным условиям. Такая постановка задачи устойчивости стержня называется “эйлеровской”.

Граничные условия задачи устойчивости стержней во многом аналогичны условиям задач поперечного изгиба стержней.

Геометрические условия могут быть только однородными - торец (например ) закреплен от смещений или от поворотов

Статические граничные условия для свободного от нагрузки и закрепления торца

(5.10)

(5.11)

Возможны также комбинации однородных геометрических и статических условий, например, свободное опирание (Рис.5.2а)

(5.12)

или свободное защемление (Рис.5.2б)

(5.13)

При постоянной жесткости и отсутствии распределенной нагрузки , сжатого на конце силой .

Тогда ` , и уравнение (5.9) принимает вид

(5.20)

где

Его общее решение

(5.21)

При однородных граничных условиях нетривиальное (отличное от докритического ) решение возможно лишь в случае равенства нулю его определителя

A=0 , (5.22)

где A- [4x4] матрица коэффициентов системы уравнений

A C = 0

относительно вектора констант С, выражающего граничные условия.

Уравнения (5.22) всегда трансцендентно и имеет бесконечное множество корней. Это означает, что балка, как и любая система с распределенными параметрами, имеющая бесчисленные степени свободы, всегда имеет бесконечный спектр собственных значений и соответствующих им собственных функций. Наименьшее из собственных значений задачи будет определять критическую силу.