Динамический критерий устойчивости

До сих пор мы говорили о статической устойчивости, понимая под ней состояние, в которое система стремится возвратиться, будучи выведенной из него неким случайным воздействием. Ясно, что, возвращаясь в положение равновесия, система, вследствие инерционности, будет совершать около него некоторые колебания. Интенсивность этих колебаний (их частота) обусловлена не только соотношением между упругими и инерционными силами (распределением масс в системе), но кроме того еще и величиной нагрузки. Это можно объяснить следующими рассуждениями.

“Запас статической устойчивости”, под которым можно понимать превышение упругих сил, возвращающих систему к положению равновесия, над возмущающими силами, стремящимися вывести систему из этого положения, по мере приближения системы к критическому значению уменьшается. Это влечет за собой уменьшение частоты колебаний. В момент потери устойчивости, когда запас статической устойчивости исчерпан, возмущающие силы сначала равны восстанавливающим, а затем становятся определяющими. Случайно отклоненная система остается в отклоненном положении равновесия, если такое положение, близкое к исходному, существует, либо устремится к новому равновесия, удаленному от исходного.

Эти соображения позволяют принять характер движения системы за динамический критерий устойчивости.

Если колебания затухают, либо если эти колебания, исследуемые в линеаризованной постановке для системы без рассеяния энергии, оказываются около положения равновесия гармоническими, система устойчива. Если система, выведенная из положения равновесия, удаляется от него или совершает колебания с нарастающей амплитудой, - равновесие неустойчиво. Нагрузки, начиная с которых отклонение или амплитуда колебаний могут увеличиваться, считаются критическими.

Рассмотрим вновь Пример 1.1 но теперь с позиций динамического критерия.

Пусть погонная масса стержня распределена по закону . Тогда линеаризованное уравнение движения, в котором кроме упругой и возмущающей силы будут фигурировать также инерционные силы, запишется в виде

(4.3)

Здесь инерционный момент

,

где - линейная, - угловая скорости, - угловое ускорение системы, - момент инерции стержня относительно опоры, а знак “минус” означает, что система, будучи отпущенной, движется в сторону, противоположную углу, то есть к вертикали.

. (4.4)

Общее решение этого уравнения при имеет вид

(4.5)

или в другой форме записи

, (4.6)

где , то есть при действительных и любых константах, определяемых из начальных условий движения, зависимость (4.6) описывает гармонические колебания около вертикального положения равновесия.

При уравнение (4.4) вырождается и имеет решение

. (4.7)

Из (4.7) ясно, что при система будет либо неподвижна в положении , либо при малейшем случайном воздействии, придавшем ей скорость , начнет двигаться. Таким образом, мы вновь нашли , причем, что существенно, эта величина не зависит от , то есть от распределения масс по длине стержня.

Наконец, при значения становятся чисто мнимыми

,

и общее решение (4.5) можно переписать в виде

или

. (4.8)

Функции (4.8) при любых константах описывает движение с экспоненциально нарастающей амплитудой, что соответствует неустойчивому равновесию.

Обратимся к примеру на Рис.4.1г. Линеаризованное уравнение в этом случае

имеет при любых , то есть при наличии пружины, решение в форме (4.6). Это означает, что положение равновесия всегда устойчиво. Вновь статический и динамический подходы привели нас к одному и тому же результату.

Усложним задачу и рассмотрим систему с двумя степенями свободы.

Пример 4.1

Легко видеть, что статическая постановка снова не дает нам иных положений равновесия кроме вертикального, поскольку из положения равновесия верхнего стержня следует, что , то есть стержень не переламывается, и задача сводится к предыдущей.

Чтобы рассмотреть этот пример с помощью динамического критерия, примем для простоты, что массы стержней расположены в их серединах.

Линеаризованные уравнения движения имеют вид

(4.9)

где

Исключив из (4.9) величины Y и X и подставив их в (4.10), имеем

Мы получили систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Отыскивая ее частное решение в форме

(4.11)

приходим к однородной системе относительно констант

Условие нетривиальности ее решения

(4.12)

Проанализируем уравнение (4.12).

Поскольку свободный член не зависит от , ясно, что нулевых корней нет. Это, означает что нет независимых от времени положений равновесия (4.11) кроме вертикального . Этого и следовало ожидать. Ведь если бы такое положение было, мы нашли бы его с помощью статического критерия.

Для того, чтобы решение имело расширяющуюся амплитуду, необходимо, чтобы корни уравнения (4.12) в общем случае комплексные

(4.13)

имели положительную действительную часть а. Подставив (4.13) в (4.12) и приравняв нулю коэффициенты при действительной и мнимой частях, получим

где а - действительный коэффициент. Следовательно, чтобы он существовал, необходимо

.

Легко видеть, что это вполне возможно. Наименьшее значение , при котором выполняется это неравенство, и будет критическим:

(4.14)

Заметим, что на динамический характер потери устойчивости существенно влияет распределение масс. При имеем . При из (4.9), (4.10) следует, что , и, следовательно, стержень устойчивости не теряет. По формуле (4.14) этому случаю соответствует .

Если бы мы учли, что массы стержней не сосредоточены, а распределены, скажем, равномерно, то значение за счет появления собственных моментов инерции оказалось бы меньшим [ 3 ]:

.

Таким образом, динамический критерий оказывается более общим.