Устойчивость тонких пластин

Мы рассмотрели задачу устойчивости в элементарной постановку для жестких элементов, соединенных упругими связями.

Задача устойчивости упругих стержней рассмотрена в курсе "Сопротивление материалов". Здесь мы рассмотрим задачу устойчивости пространственных элементов, простейшим из которых является тонкая пластина.

Докритическое состояние целиком описывается плоской задачей теории упругости (индекс "0"). Уравнения равновесия

(13.2)

В докритическом состоянии граничные условия на контуре могут быть на разных участках как кинематическими

, (13.5)

так и статическими

(13.6)

Внешние нагрузки и, следовательно, все докритическое состояние изменяется однопараметрически - пропорционально параметру нагрузки P

(13.7)

Постановка задачи устойчивости пластин идентична устойчивости стержней: найти наименьшее значение параметра нагрузки , при котором наряду с устойчивым исходным состоянием плоского равновесия становятся возможны искривленные состояния равновесия.

Для отыскания таких значений (точек бифуркации) необходимо рассмотреть изогнутое состояние равновесия, бесконечно близкое к исходному

,

где - малый параметр.

Для изогнутого состояния в силу гипотезы 4 справедливы соотношения линейной теории изгиба, т.е. выражения для моментов

, (13.8)

где - цилиндрическая жесткость пластины.

Отметим, что соотношения (13.8) пригодны для записи только линеаризованного уравнения устойчивости. Для исследования закритического поведения пластины этих соотношений недостаточно. Там нужны будут соотношения для “гибких” пластин.

В уравнении равновесия проекций всех сил на нормаль в отличие от линейной теории изгиба учтем проекции усилий (рис.13.2), наклоненных к осям под углами

. (13.11)

В результате уравнение изгиба принимает вид

или с учетом (13.8)

(13.13)

где

(13.14)

Уравнение (13.13) не отличается от уравнения Софи Жермен, что дает основание называть - фиктивной поперечной нагрузкой. Это соображение позволяет получать уравнения устойчивости не только стержней и пластин, но и оболочек из уравнений изгиба путем замены поперечной нагрузки на фиктивную, порожденную проекцией тангенциальных сил.

Перепишем (13.14) с учетом (13.11) в виде

(13.15)

Поскольку , то из (13.15) с учетом (13.2) следует, что при отсутствии распределенной нагрузки

. (13.16)

Таким образом, для пластины, нагруженной только по контуру, линеаризованное уравнение устойчивости имеет вид

. (13.17)

В силу первого допущения граничные условия, которым должно удовлетворять решение уравнения (13.17), всегда однородны. Таким образом, при однопараметрической нагрузке (13.7) мы имеем дело с задачей на собственные значения для уравнения

, (13.18)

где

.

Требуется найти собственные значения параметра - такие, при которых возможно нетривиальное решение уравнения (13.18), отвечающее однородным граничным условиям.

Эти граничные условия формируются так же, как и в теории изгиба пластин.