Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Из свойств непрерывных функций следует, что эта функция в указанной области достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Причём эти значения функция может принимать либо во внутренней точке отрезка, либо на границе отрезка.

На основе вышесказанного правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке сводится к следующим действиям:

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [-1,3].

Решение. Находим критические точки данной функции, определим производную функции

;

откуда f¢(x) = 0 при х₁ = 1 и при х₂ = 2 , обе эти точки принадлежат отрезку [-1,3] . Находим значения функции в критических точках х₁ , х₂ и на концах отрезка -1 , 3: f(1) = 1, f(2) = 0, f(-1) = -27, f(3) = 5. Сравнивая данные величины, находим наибольшее и наименьшее значения

f_ниб = 5 в точке х = 3, f_ним = -27 в точке х = -1.