КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Основные правила дифференцирования функций
На практике нахождение производной функции часто связано с определёнными трудностями, поэтому удобно пользоваться в дальнейшем следующими правилами дифференцирования.
Пусть функции u = u (x) и v = v(x) – дифференцируемы в точке х . а C – постоянная величина (C = const). Имеют место следующие правила:
1) 
;
2) 
;
3) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢ ;
4) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v ;
5) 
, если v ¹ 0 .
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Ниже приводится таблица производных элементарных функций:
| 1) С¢ = 0 | 9) 
|
| 2) ( xm )¢ = m xm-1 | 10) 
|
3) 
| 11) 
|
4) 
| 12) 
|
5) 
| 13) 
|
6) 
| 14) 
|
7) 
| 15) 
|
8) 
| 16) 
|
Производная сложной функции.
Теорема.Пусть функции y = f(u) и u = g(x) дифференцируемы в соответствующей точке, причем область значений функции g(x) входит в область определения функции f.
Тогда 
. (5.5)
Доказательство. 
,
( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)
Тогда 
Теорема доказана.
Примеры. Найти производную
1) 
2) 
Логарифмическое дифференцирование.
На практике в ряде случаев для нахождения производной функции удобно вначале прологарифмировать эту функция, а затем результат продифференцировать. Такая двойная процедура называется логарифмическим дифференцированием. Метод логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.
Рассмотрим функцию 
.
Тогда (lnïxï)¢= 
, т.к. 
. Учитывая полученный результат, можно записать 
. Здесь отношение 
называется логарифмической производной функции f(x).
В результате 
. (5.6)
Примеры. 1) Производная степенно-показательной функции
. (5.7)
2) 
, 
3) 
,
.
Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 153; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |