Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Основные правила дифференцирования функций




Читайте также:
  1. A) отличие от сферы частичных функций личности;
  2. Cтеклянных шаров по 18 черных и белых; Подробные правила игры
  3. I. Основные процессы
  4. I.Правила чтения
  5. II. Основные теоретические положения
  6. III. Основные требования к форме и внешнему виду учащихся
  7. III.Характеристика обобщенных трудовых функций
  8. III.Характеристика обобщенных трудовых функций
  9. Oslash; 1.1 Основные элементы окна
  10. Oslash; 1.2. Основные элементы экрана

На практике нахождение производной функции часто связано с определёнными трудностями, поэтому удобно пользоваться в дальнейшем следующими правилами дифференцирования.

Пусть функции u = u (x) и v = v(x) – дифференцируемы в точке х . а C – постоянная величина (C = const). Имеют место следующие правила:

1) ;

2) ;

3) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢ ;

4) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v ;

5) , если v ¹ 0 .

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Ниже приводится таблица производных элементарных функций:

 

1) С¢ = 0 9)
2) ( xm )¢ = m xm-1 10)
3) 11)
4) 12)
5) 13)
6) 14)
7) 15)
8) 16)

 

Производная сложной функции.

Теорема.Пусть функции y = f(u) и u = g(x) дифференцируемы в соответствующей точке, причем область значений функции g(x) входит в область определения функции f.

Тогда . (5.5)

Доказательство. ,

( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда Теорема доказана.

 

Примеры. Найти производную

1)

2)

Логарифмическое дифференцирование.

На практике в ряде случаев для нахождения производной функции удобно вначале прологарифмировать эту функция, а затем результат продифференцировать. Такая двойная процедура называется логарифмическим дифференцированием. Метод логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Рассмотрим функцию .

Тогда (lnïxï)¢= , т.к. . Учитывая полученный результат, можно записать . Здесь отношение называется логарифмической производной функции f(x).

В результате . (5.6)

Примеры. 1) Производная степенно-показательной функции

. (5.7)

2) ,

3) ,

.


Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 7; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.017 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты