КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Производная функции, ее геометрический и физический смысл.Стр 1 из 11Следующая ⇒ Дифференциальное исчисление функции Одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует. . (5.1) у f(x)
f(x0 +Dx) P Df f(x0) M
a b Dx 0 x0 x0 + Dx x
Рис. 5.1. Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции. , где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)). Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке. Уравнение касательной к кривой: (5.2) Уравнение нормали к кривой: . (5.3) Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной. Физический смысл производной функции f(t), где t - время, а f(t)- закон движения – мгновенная скорость движения. Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение. Функция у= f(x), имеющая производную в каждой точке интервала (а, b), называется дифференцируемой в этом интервале. Соответственно операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Рассмотрим основные свойства дифференцируемых функций. 1. Теорема 1 (необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке. 2. Теорема 2. Если функция у = f(x) на интервале (а, b) монотонна и имеет в произвольной точке х этого интервала производную не равную нулю, то обратная ей функция х = φ (у) также имеет производную в соответствующей точке и равна . (5.4) Следовательно, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
|