Исследование функции при помощи производных

При исследовании поведения дифференцируемых на некотором отрезке [a,b] функций важны следующие теоремы о среднем.

Теорема (Ролль). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка с, a < с < b, в которой производная f¢(x) равная нулю, т.е. f¢(с) = 0.

Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f(x) на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M ¹ m.

Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае в качестве с можно принять любую точку интервала.

Пусть М ≠ m. Так как значения на концах отрезка равны, то функция принимает хотя бы одно из значений М или m во внутренней точке с интервала (a,b). Пусть, например, функция принимает значение М в точке х = с (a < с < b), т.е. f(с) = M. Так как М - наибольшее значение функции, то для всех выполняется неравенство .

Найдём производную f¢(x) в точке х = с:

В силу предыдущего неравенства выполняется условие , если , т.е. и поэтому .

Если же , т.е. , то .

Таким образом,

В случае, когда f(с) = m, доказательство аналогичное.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует по крайней мере одна точка с, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна оси Ох.

Теорема (Коши). Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка с, a < с < b, такая, что

.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке с.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

,

которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка с, a < с < b, такая, что F¢(с) = 0. Т.к.

, то

Но , то . Теорема доказана.

Теорема (Лагранж). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка с , такая, что выполняется равенство

. (5.13)

Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать, как частный случай теоремы Коши. Действительно, положим g(x) = х, тогда g¢(x)=1, g¢(с)=1 и . Подставляя эти значения в формулу

получаем или

. Теорема доказана.

Полученное выражение (5.13) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Согласно этой формуле приращение дифференцируемой функции на отрезке [a, b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Раскрытие неопределённостей(правила Лопиталя)