Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на некотором интервале, если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой (см. рис 5.3).

Рис. 5.3. Иллюстрация определения выпуклости и вогнутости

графика функции (при x < a кривая выпукла, при x > a кривая вогнута,

при x = a - точка перегиба) .

Теорема. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) ( ) отрицательна, то кривая y = f(x) выпукла. Если же в любой точке интервала (a, b), то кривая y = f(x) вогнута.

Доказательство. Пусть х₀ Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

Уравнение кривой: y = f(x); уравнение касательной:

Следует доказать, что .

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x₀):

, x₀ < c < x.

По теореме Лагранжа для

Пусть х > x₀ тогда x₀ < c₁ < c < x. Т.к. x – x₀ > 0 и c – x₀ > 0, и кроме того по условию , следовательно, .

Пусть x < x₀ тогда x < c < c₁ < x₀ и x – x₀ < 0, c – x₀ < 0, т.к. по условию то .

Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y = f(x) вогнута на интервале (a, b). Теорема доказана.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема (достаточное условие точек перегиба). Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба (см рис. 5.3).

2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба. Теорема доказана.

Пример. Определить точки перегиба функции y = x³ + 2x² + x. Находим производные

; ; → .

Определим поведение функции при и при . Результаты исследования представим в таблице

x
	выпукла	точка перегиба	вогнута