Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба.




Читайте также:
  1. Specify next point or [Arc/Halfwidth/Length/Undo/Width]: - запрос второй точки
  2. Администрация морского порта, ее значение и функции.
  3. Алгоритм построения графика
  4. Алгоритм создания графика ВВО
  5. Асимптоты графика функции
  6. Астероид 216 Клеопатра в форме косточки
  7. Белки, молекулярная организация и функции.
  8. БОЛЕВЫЕ ТОЧКИ И ПРИЕМЫ ПОРАЖЕНИЯ ПРОТИВНИКА В РУКОПАШНОЙ СХВАТКЕ
  9. В таблице указаны оценки времени выполнения работ сетевого графика, данные ответственными исполнителями и экспертами.
  10. Валютный контроль: понятие, правовая основа агенты и органы валютного контроля, их задачи и функции. Валютное регулирование.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на некотором интервале, если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой (см. рис 5.3).

Рис. 5.3. Иллюстрация определения выпуклости и вогнутости

графика функции (при x < a кривая выпукла, при x > a кривая вогнута,

при x = a - точка перегиба) .

 

Теорема. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) ( ) отрицательна, то кривая y = f(x) выпукла. Если же в любой точке интервала (a, b), то кривая y = f(x) вогнута.

Доказательство. Пусть х0 Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

Уравнение кривой: y = f(x); уравнение касательной:

Следует доказать, что .

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0):

, x0 < c < x.

По теореме Лагранжа для

Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию , следовательно, .

Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т.к. по условию то .

Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y = f(x) вогнута на интервале (a, b). Теорема доказана.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема (достаточное условие точек перегиба). Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба (см рис. 5.3).

2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба. Теорема доказана.

Пример. Определить точки перегиба функции y = x3 + 2x2 + x. Находим производные



; ; .

Определим поведение функции при и при . Результаты исследования представим в таблице


Дата добавления: 2015-09-14; просмотров: 9; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2021 год. (0.011 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты