Асимптоты графика функции

Часто оказывается, что график функции при удалении текущей точки кривой на бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой. Такие прямые называются асимптотами. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение при определении характера поведение графика кривой. Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоты. При наличии у кривой асимптот различают три их вида: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Определение.Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если или или .

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой, так как , .

Определение.Прямая называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при , если f(x) можно представить в виде

f(x) = , где при .

Это определение относится также и к горизонтальной асимптоте, если k = 0.

Для точного определения наклонной асимптоты необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b. Разделим обе части предыдущего равенства на х и переходя к пределу когда , получим

, т.е.

. (5.14)

Затем из равенства , переходя к пределу при , получим

, т.е.

. (5.15)

Пример. Найти асимптоты функции .

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

.

Таким образом, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.