Схема исследования графика функции

Приведенный в разделе 5.6 теоретический обзор свойств функций позволяет рекомендовать следующую схему проведения исследования функций и построения их графиков.

1. Найти область определения функции у = f(x).

2. Определить возможный тип симметрии функции: четность или не­четность функции.

Приналичии симметрии достаточно построить график функции на правой координатной полуплоскости и затем отобразить его на левую половину: зеркально относительно оси Оу в случае четности f(x) или с центральной симметрией при нечетности f(x).

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат Ох и Оу,

т. е. решить соответственно уравнения у = f(0) и f(x) = 0.

4. Найти асимптоты.

5. Найти точки возможного экстремума.

6. Найти критические точки.

7. Исследовать знаки первой и второй производных, определить уча­стки монотонности функции, направление выпуклости графика, точ­ки экстремума и перегиба.

8. Определить максимум и минимум функции на области ее опреде­ления. Если областью определения функции является отрезок [а, Ь], необходимо вычислить значения функции в его концах и сопоставить их с локальными экстремумами.

9. Построить график функции с учетом проведенного исследования.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями:

c осью Ох: y = 0; x = ; с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

Наклонная асимптота у = х.

5. Находим точки экстремума функции.

; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функция возрастает,

y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функция убывает,

у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функция возрастает.

Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.

Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.

> 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция вогнутая на всей области определения.

6. Построим график функции.

Рис. 5.4. График функции .