РЕШЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ 2×2

Начнем рассмотрение методов нахождения оптимальных смешанных стратегий с простейшей игры, описываемой платежной матрицей

.

Пусть смешанные стратегии игроков имеют вид:

, .

Оптимальные стратегии и , и цена игры должны удовлетворять условиям:

(2.14)

или

.

Откуда получаем следующее решение матричной игры:

(2.15)

Вычислив оптимальное значение , можем вычислить и оптимальную смешанную стратегию второго игрока из условия , или . А именно:

, (2.15')

при .

Эту задачу можно решить и графически, учитывая, что решение системы (2.14) представляет собой геометрически точку пересечения двух прямых на плоскости или .

Приведем алгоритм геометрического способа решения игры 2×2:

1. На оси абсцисс откладываем отрезок единичной длины .

2. На оси ординат откладываем выигрышы при стратегии , а на прямой - выигрыши при стратегии .

3. Строим стратегии, проходящие через точки:

а) и ;

б) и .

4. Находим точку пересечения прямых, которая и дает решение матричной игры .

Проиллюстрируем данный алгоритм на рисунке:

Рис. 2.1

№ 2.5.Решите матричную игру , заданную платежной матрицей:

.

Решение. Определим сначала верхнюю и нижнюю цену игры:

,

.

Так как , то имеем игру без седловой точки, что приводит к необходимости рассмотрения смешанной стратегии. По формулам (2.15) найдем:

,

,

.

По формулам (2.15´) определим смешанную стратегию второго игрока:

.

Ответ: .

Проиллюстрируем это решение графически согласно приведенному выше алгоритму.

Рис.2.2