Понятие об уравнении линии на плоскости.

Н.П. Шевченко, И.Ю. Смирнова

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Учебное пособие

Ростов-на-Дону 2005

УДК 517

Ш31

Ш31 Шевченко Н.П., Смирнова И.Ю. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учеб. Пособие.- Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ.- 2005.- 77с.

Учебное пособие представляет собой опорный конспект лекций (продолжение методического пособия «Алгебра и аналитическая геометрия» ДГТУ, 2004) по темам: «Аналитическая геометрия на плоскости, в пространстве. Кривые второго порядка. Матрицы. Линейные преобразования». Рассмотрены основные понятия, свойства, приведены примеры с решениями.

Пособие рассчитано на студентов первого курса всех специальностей, изучающих указанные разделы курса «Математика».

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Донского государственного технического университета

Научный редактор д-р ф.-м. н., проф. А.В. Братищев

Рецензент к.ф.-м. н. Т.Н. Радченко (РГУ, г. Ростов-на-Дону)

Аналитическая геометрия.

Предмет аналитической геометрии - это изучение геометрических образов с помощью алгебры(их положение, вид, а не размеры). Точка – исходный элемент, все остальное – совокупность точек.

Лекция 1. Линейные образы в R2.

Понятие об уравнении линии на плоскости.

Рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости, определяемую ортонормированным базисом , и точкой О(0,0) – началом координат. Пусть на плоскости дана какая-нибудь линяя.

Определение.Уравнением данной линии (в выбранной системе координат) называется такое уравнение F(x, y)=0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.

Пример. 1) y=x или x-y=0 уравнение биссектрисы I и II координатных углов.

2) Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса R: x²+y²=R² или x²+y²-R²=0.

Произвольную точку на линии называют текущей точкой. В дальнейшем, рассматривая уравнения с двумя переменными, мы не исключаем возможности , что левая часть уравнения содержит еще и другие символы, а, b, R и т.д., но в таком случае мы будем предполагать, что они представляют собой фиксированные числа, и будем называть их постоянными параметрами уравнения. Например, в уравнении y=kx+b параметрами являются k и b, а в уравнении окружности x²+y²=R² параметр- радиус R и координаты центра О(0,0). Составить уравнение линии (или, вообще говоря, геометрического образа), значит, исходя из свойств линии, установить зависимость между координатами текущей точки и параметрами. Этот метод позволяет свести изучение линий к изучению их уравнений, т.е. задачи геометрии свести к задачам алгебры.

Основным предметом изучения в аналитической геометрии являются линии, определяемые по отношению к декартовым прямоугольным координатам алгебраическими уравнениями. Это суть уравнения следующих видов:

Ax+By+C=0 (A²+B²¹0) (1)

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 (A²+B²+C²¹0) (2)

Ax³+Bx²y+Cxy²+Dy³+Ex²+Fxy+Gy²+Hx+Ly+K=0 (A²+B²+C²+D²¹0) (3)

Уравнения (1), (2), (3) соответственно общие уравнения 1-ой, 2-ой, 3-ей степени.

Определение.Линяя, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется алгебраическим уравнением степени n, называется алгебраической линией n-го порядка.