Плоскость. 1. Уравнение плоскости , проходящей через данную точку М0(x0,y0,z0), перпендикулярно данному вектору

1. Уравнение плоскости , проходящей через данную точку М₀(x₀,y₀,z₀), перпендикулярно данному вектору .

М(x,y,z)- текущая точка плоскости . Вектор . Для любой точки плоскости векторы и ортогональны, следовательно, их скалярное произведение равно 0.

. (4)

В уравнении (4) перейдём к координатной форме:

. (5)

Уравнение (5) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

2. Общее уравнение плоскости- это уравнение 1-ой степени с неизвестными x,y,z имеет вид: Ax+By+Cz=0. (6)

3. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Пусть плоскости принадлежат точки M₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂), M₃(x₃,y₃,z₃),

M(x,y,z) - текущая точка плоскости, тогда векторы ,

,

компланарны и, следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

, или . (7)

4. Уравнение плоскости «в отрезках»:

, где а,b,с – величины отрезков, отсекаемых плоскостью от начала координат на осях координат.

5. Расстояние точки от плоскости.

Дана плоскость и точка вне плоскости, тогда расстояние точки M₀ от плоскости имеет вид:

6. Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Даны две плоскости:

(1)

(2)

и ; - нормальные векторы к соответствующим данным плоскостям.

За угол между двумя плоскостями принимается угол между их нормальными векторами:

.Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, и, следовательно,

- условие параллельности двух плоскостей.

Если плоскости перпендикулярны, то - условие перпендикулярности двух плоскостей.