![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Примеры на тему: ”Кривые второго порядка”.Пример 1.Установить, что уравнение 5x2+9y2-30x+18y+9=0 определяет эллипс. Найти его центр С, полуоси, координаты фокусов F1, F2, эксцентриситет и уравнения директрис. Сделать чертеж. Решение: 1. В заданном уравнении сгруппируем слагаемые, содержащие одноименные координаты и вынесем коэффициенты при квадратах за скобки: 5(x2-6x)+9(y2+2y)+9=0. Дополним выражения, стоящие в скобках, до полного квадрата и полученные свободные константы перенесем в правую часть: 5(x2-6x+9-9)+9(y2+2y+1-1)+9=0, 5((x-3)2-9)+9((y+1)2-1)+9=0, 5(x-3)2+9(y+1)2=45. Разделим обе части уравнения на 45, получим
2. Введем новую систему координат XOY, полученную сдвигом по каждой из координатных осей, и связанную со старой декартовой системой координат равенствами:
Тогда, исследуемое уравнение кривой относительно новых осей примет вид:
Это есть канонический вид эллипса с центром Вычисляем, с= 3. Чтобы найти координаты центра и фокусов в старой системе xoy, воспользуемся равенствами (1), осуществляющими связь систем координат: центр С: фокусы F1 : Уравнения директрис: x-3= 4. Теперь построим эллипс. С помощью параллельного переноса системы координат xoy образуем новую систему
Соединив найденные вершины, получим эллипс. На оси OX симметрично относительно О на расстоянии с=2 отложим точки F1, F2-фокусы эллипса. Так как директрисы эллипса описываются уравнениями x=const, то они располагаются параллельно OY, причем одна из них проходит через точку (7,5 ; 0), другая через (-1,5; 0). Пример 2. Установить, что уравнение 16x2-9y2-64x-54y-161=0 определяет гиперболу. Найти ее центр С, полуоси, координаты фокусов F1, F2, вершины А1, А2 , эксцентриситет , уравнения директрис и асимптот. Сделать чертеж. Решение: 1. В уравнении линии выделим полные квадраты при одноименных переменных: 16(x-2)2-9(y+3)2=144. Разделив обе части уравнения на 144, будем иметь:
2. Введем новую систему координат XOY, полученную сдвигом по каждой из координатных осей и связанную с xoy равенствами:
В этой системе исследуемое уравнение представляет собой каноническое уравнение гиперболы: с центром в точке O (0,0), вещественной полуосью а=4 и мнимой b=4. Точки Y= Y= 3. Вернемся к исходной системе координат xoy, воспользовавшись равенствами (2):
4. Теперь построим гиперболу. С помощью параллельного переноса системы координат xoy образуем новую систему координат XOY так, чтобы новое начало координат О совпадало с точкой С(2, -3). При указанном выборе, оси координат системы XOY являются осями симметрии гиперболы, а точка О- центром симметрии.
Теперь симметрично О по оси OX отложим отрезки длины a=3, а по оси OY отрезки длины b=4, образуем основной прямоугольник гиперболы. При пересечении основного прямоугольника с осью OX образуются вершины А1, А2. Через противоположные вершины основного прямоугольника проведем прямые, которые будут являться асимптотами гиперболы. Теперь проводя через вершины и приближаясь к асимптотам, рисуем ветви гиперболы. F1, F2-фокусы гиперболы располагаются по оси абсцисс OX симметрично начала координат О на расстоянии с=5. Пример 3.Установить, что уравнение x=-2y2+12y-14 определяет параболу, найти ее вершину, параметр, фокус, директрису. Сделать чертеж. Решение: 1. В заданном уравнении сгруппируем слагаемые содержащие переменную y, вынесем коэффициент при квадрате за скобку и выделим полный квадрат: x= -2(y-3)2+4, x – 4= -2(y-3)2. 2. Введем новую систему координат XOY, связанную со старой , следующими формулами:
тогда исследуемое уравнение относительно новых осей примет вид: X= -2Y2 , Y2= - Полученное уравнение представляет собой каноническую форму уравнения параболы, симметричной относительно оси OX, с ветвями, направленными в отрицательную сторону OX, и вершиной в точке 3. Вернемся к исходной системе координат xoy. Используя равенства (3), получаем: A(4;3), F(3
Рисуем параболу с вершиной в точке А=О и обладающую перечисленными выше свойствами. Фокус параболы лежит на расстоянии
|