КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Примеры на тему: ”Кривые второго порядка”.Пример 1.Установить, что уравнение 5x2+9y2-30x+18y+9=0 определяет эллипс. Найти его центр С, полуоси, координаты фокусов F1, F2, эксцентриситет и уравнения директрис. Сделать чертеж. Решение: 1. В заданном уравнении сгруппируем слагаемые, содержащие одноименные координаты и вынесем коэффициенты при квадратах за скобки: 5(x2-6x)+9(y2+2y)+9=0. Дополним выражения, стоящие в скобках, до полного квадрата и полученные свободные константы перенесем в правую часть: 5(x2-6x+9-9)+9(y2+2y+1-1)+9=0, 5((x-3)2-9)+9((y+1)2-1)+9=0, 5(x-3)2+9(y+1)2=45. Разделим обе части уравнения на 45, получим . 2. Введем новую систему координат XOY, полученную сдвигом по каждой из координатных осей, и связанную со старой декартовой системой координат равенствами: (1). Тогда, исследуемое уравнение кривой относительно новых осей примет вид:
, . Это есть канонический вид эллипса с центром (0,0), большой полуосью a=3, малой полуосью b= . Фокусы эллипса располагаются на оси OX на расстоянии с= от начала координат О, в точках 1(с, 0), 2(-c, 0) в новой системе координат XOY. Вычисляем, с= = =2, 1(2, 0), 2(-2, 0). Мера сжатия, то есть эксцентриситет, дается равенством e= . Отсюда e= .Директрисы эллипса в системе XOY задаются уравнениями X= . В нашем случае, X= . 3. Чтобы найти координаты центра и фокусов в старой системе xoy, воспользуемся равенствами (1), осуществляющими связь систем координат: центр С: , C(3, -1), фокусы F1 : , F1(5,-1), F2: , F2(1,-1). Уравнения директрис: x-3= . 4. Теперь построим эллипс. С помощью параллельного переноса системы координат xoy образуем новую систему координат XOY так, чтобы новое начало координат О совпадало с точкой С(3, -1). При указанном выборе, оси координат системы XOY являются осями симметрии эллипса, а точка О- центром симметрии. Теперь симметрично О по оси OX отложим отрезки длины a=3, а по оси OY отрезки длины . Соединив найденные вершины, получим эллипс. На оси OX симметрично относительно О на расстоянии с=2 отложим точки F1, F2-фокусы эллипса. Так как директрисы эллипса описываются уравнениями x=const, то они располагаются параллельно OY, причем одна из них проходит через точку (7,5 ; 0), другая через (-1,5; 0). Пример 2. Установить, что уравнение 16x2-9y2-64x-54y-161=0 определяет гиперболу. Найти ее центр С, полуоси, координаты фокусов F1, F2, вершины А1, А2 , эксцентриситет , уравнения директрис и асимптот. Сделать чертеж. Решение: 1. В уравнении линии выделим полные квадраты при одноименных переменных: 16(x-2)2-9(y+3)2=144. Разделив обе части уравнения на 144, будем иметь: . 2. Введем новую систему координат XOY, полученную сдвигом по каждой из координатных осей и связанную с xoy равенствами: (2). В этой системе исследуемое уравнение представляет собой каноническое уравнение гиперболы: с центром в точке O (0,0), вещественной полуосью а=4 и мнимой b=4. Точки 1(с, 0), 2(-c, 0), где с= являются фокусами гиперболы, отсюда находим с= =5, 1(5, 0), 2(-5, 0). Эксцентриситет e= , в нашем случае e= . Вершины гиперболы располагаются по оси OX симметрично относительно начала координат и на расстоянии a=3 от центра, поэтому 1(3, 0), 2(-3, 0). По формулам асимптот и директрис: Y= X и X= , найдем Y= X - уравнения асимптот, X= -уравнения директрис. 3. Вернемся к исходной системе координат xoy, воспользовавшись равенствами (2): C(2;-3), F1(7;-3), F2(-3; -3), A1(5; -3), A2(-1; -3), асимптоты: y+3= (x-2), директрисы: x-2= . 4. Теперь построим гиперболу. С помощью параллельного переноса системы координат xoy образуем новую систему координат XOY так, чтобы новое начало координат О совпадало с точкой С(2, -3). При указанном выборе, оси координат системы XOY являются осями симметрии гиперболы, а точка О- центром симметрии.
Теперь симметрично О по оси OX отложим отрезки длины a=3, а по оси OY отрезки длины b=4, образуем основной прямоугольник гиперболы. При пересечении основного прямоугольника с осью OX образуются вершины А1, А2. Через противоположные вершины основного прямоугольника проведем прямые, которые будут являться асимптотами гиперболы. Теперь проводя через вершины и приближаясь к асимптотам, рисуем ветви гиперболы. F1, F2-фокусы гиперболы располагаются по оси абсцисс OX симметрично начала координат О на расстоянии с=5. Пример 3.Установить, что уравнение x=-2y2+12y-14 определяет параболу, найти ее вершину, параметр, фокус, директрису. Сделать чертеж. Решение: 1. В заданном уравнении сгруппируем слагаемые содержащие переменную y, вынесем коэффициент при квадрате за скобку и выделим полный квадрат: x= -2(y-3)2+4, x – 4= -2(y-3)2. 2. Введем новую систему координат XOY, связанную со старой , следующими формулами: , (3) тогда исследуемое уравнение относительно новых осей примет вид: X= -2Y2 , Y2= - X. Полученное уравнение представляет собой каноническую форму уравнения параболы, симметричной относительно оси OX, с ветвями, направленными в отрицательную сторону OX, и вершиной в точке (0; 0). Константа перед X, есть величина 2p, поэтому 2p= , а параметр p= . Фокус и уравнение директрисы при таком расположении параболы находятся по формулам , X= , отсюда имеем фокус , директриса X= . 3. Вернемся к исходной системе координат xoy. Используя равенства (3), получаем: A(4;3), F(3 ; 3), директриса x=4 . 4. Построение параболы. С помощью параллельного переноса системы координат xoy так, чтобы новое начало координат О совпадало с точкой А(4; 3), образуем новую систему XOY. Рисуем параболу с вершиной в точке А=О и обладающую перечисленными выше свойствами. Фокус параболы лежит на расстоянии = от вершины. Директриса параболы проходит через точку (4 ; 0) параллельно OY.
|