Мгновенная угловая скорость.

Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку . Свяжем жестко с телом систему координат . Система координат однозначно определяет положение рассматриваемого тела по отношению к неподвижной системе отсчета (§ 12.1). Положение произвольной точки твердого тела определяется радиус-вектором . Если , и – координаты точки в подвижной системе координат, а – единичные векторы осей этой системы координат, то радиус-вектор можно представить в виде

. (12.1)

Координаты точки в подвижной системе отсчета являются постоянными величинами, а единичные векторы будут функциями времени, так как система координат движется вместе с твердым телом.

Скорость точки определяется по формуле

,

поэтому, дифференцируя (12.1) по , получим

. (12.2) Умножая обе части равенства (12.2) скалярно на , и , получим

. (12.3)

Так как векторы , и взаимно перпендикулярны, то

(12.4)

Дифференцируя эти равенства по времени, найдем две группы формул:

, , , (12.5)

, , . (12.6)

Выражения (12.3) при этом примут вид

(12.7)

Формулы (12.7) содержат три скалярные функции времени,

, , ,

для которых введем обозначения:

, , . (12.8)

Перепишем теперь формулы (12.7) в виде

(12.9) Так как

,

то, в соответствии с выражением (12.9), имеем

.

Если теперь ввести вектор с проекциями , , ,

,

то скорость точки можно представить векторным произведением

.

Итак, скорость точки тела, совершающего сферическое движение, определяется формулой

. (12.10)

Геометрическое место точек, скорость которых равна нулю, определяется из уравнения

, (12.11) представляющего собой условие коллинеарности векторов и . Это векторное уравнение в системе координат можно записать в виде

. (12.12)

Уравнения (12.12) определяют прямую линию, направляющие косинусы которой пропорциональны проекциям , , вектора . В общем случае вектор и его проекции , , являются фунуциями времени, поэтому положение прямой (12.12) изменяется как относительно тела, так и относительно неподвижной системы координат .

Прямая (12.12), в каждой точке которой скорости точек тела в данный момент равны нулю, называется мгновенной осью вращения. (Она также называется мгновенной осью скоростей.)

Введенный нами вектор направлен по мгновенной оси вращения.

Как уже было установлено, скорость любой точки тела определяется формулой (12.10), совпадающей по своей форме с выражениями для скоростей точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (формула (10.13)). Следовательно, скорости точек твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, как если бы тело вращалось вокруг оси, совпадающей в данный момент с мгновенной осью вращения. В частности, модуль скорости точки в данный момент определяется равенством

,

где – расстояние от точки до мгновенной оси вращения. Скорость точки направлена перпендикулярно плоскости, проходящей через ее радиус вектор и мгновенную ось вращений (рис. 12.4).

По аналогии с вращением тела вокруг неподвижной оси назовем в рассматриваемом нами случае сферического движения тела вектор вектором угловой скорости. При этом следует иметь в виду, что при вращении тела вокруг неподвижной оси вектор угловой скорости представляет собой вектор, всегда направленный по неподвижной оси вращения и характеризующий изменение во времени реального угла поворота тела. Для тела, имеющего одну неподвижную точку, выражение "угловая скорость" имеет условный характер, так как положение тела определяется не одним, а тремя углами (§ 12.1) и, следовательно, нет такого одного угла, скорость изменения которого представил бы введенный вектор . Кроме того, этот вектор может меняться и по модулю и по направлению. Проекции этого вектора на координатные оси являются функциями углов Эйлера и их первых производных. Эти формулы будут приведены в дальнейшем (§ 14.3).

Отметим, что из формул (12.8) для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, например, вокруг оси , можно получить

, , ,

так как (§ 10.2) , , .

Если известны направления скоростей двух точек тела, то мгновенную ось вращения можно найти графически. Как следует из картины распределения скоростей точек тела в данный момент времени, мгновенная ось вращения лежит в плоскости, перпендикулярной направлению скорости точки тела, и проходит через неподвижную точку тела. Следовательно, если через точки тела, направления скоростей которых известны, провести плоскости, перпендикулярные этим скоростям, то линия пересечения этих плоскостей и будет мгновенной осью вращения.

Мгновенную ось вращения можно определить и в том случае, когда известна одна точка тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Соединяя эту точку с неподвижной точкой тела, найдем мгновенную ось вращения.

Глава XIII