Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Для того, чтобы найти абсолютное ускорение точки, т.е. ее ускорение по отношению к абсолютной системе координат, продифференцируем по времени формулу (13.10))

. (13.13) Абсолютную производную вектора относительной скорости найдем по формуле (13.5):

. (13.14) В этом соотношении есть относительная производная вектора по времени и, следовательно, представляет собой относительное ускорение , т.е. ускорение точки по отношению к подвижной системе координат

. (13.15) Используя равенства (13.8), (13.9), (13.14) и (13.15), преобразуем формулу (13.13) к виду

(13.16) где – ускорение начала подвижной системы координат, а – ее угловое ускорение.

Для того чтобы найти переносное ускорение (ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка), закрепим точку в подвижной системе координат, т.е. положим , .

В этом случае согласно формуле (13.16) будем иметь

, (13.17) т.е. переносное ускорение представляет собой ускорение точки свободного твердого тела, с которым жестко связана подвижная система координат. Таким образом, имеем

. (13.18)

Ускорение, определяемое членом , называют поворотным или кориолисовым ускорением и обозначается , т.е.

. (13.19) Итак, имеем

. (13.20) Эта формула выражает содержание теоремы Кориолиса: абсолютное ускорение точки равно сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.

При использовании формулы (13.20) полезно иметь в виду, что переносное ускорение следует определять по правилам нахождения ускорения точек твердого тела. При нахождении относительного ускорения подвижную систему следует считать неподвижной и использовать правила, изложенные в главе 9.Остановимся несколько подробнее на кориолисовом ускорении

.

Модуль этого ускорения, очевидно, равен

. (13.21) Направление этого ускорения определяется направлением векторного произведения векторов и , т.е. кориолисово ускорение будет направлено перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и в ту сторону, откуда кратчайший переход от к виден происходящим против хода часовой стрелки. Если векторы и не лежат в одной плоскости, удобно бывает мысленно перенести вектор параллельно самому себе в начало вектора скорости и применить указанное выше правило.

Иногда нахождение кориолисова ускорения облегчается применением правила Н.Е. Жуковского: проекция относительной скорости на плоскость, перпендикулярную угловой скорости подвижной системы координат, равную , следует умножить на и повернуть на угол вокруг в направлении вращения. Вектор, равный по модулю и имеющий найденное направление, и будет кориолисовым ускорением.