Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинематические уравнения Эйлера

Пусть тело Р вращается в системе координат Ox₂y₂z₂ вокруг оси z₂ с угловой скоростью ω₂, а система координат Ox₂y₂z₂ вра­щается вокруг оси z₁ неподвижной системы с угловой скоро­стью ω₁(рис. 14.2). Точка О остается неподвижной, поэтому результирующее движение тела будет сферическим. Обозначим через Ω угловую скорость этого движения. Наша задача состоит в том, чтобы найти угловую скорость абсолютного движения тела, зная угловые скорости ω ₁ и ω₂ составляющих вращений.

Найдем абсолютную скорость произвольной точки М тела. Для этого в формулу (14.1) следует подставить

v_r = ω₂ r, v_e = ω₁ r,

где r —радиус-вектор точки М; тогда

v_M = ω₁ r+ ω₂ r =( ω₁+ ω₂) r

С другой стороны, скорость той же точки М в абсолютном дви­жении будет равна

v_M = Ω r

Сравнивая оба равенства, получим

Ω r = (ω₁+ ω₂) r

Так как точка М, а следователь­но, и ее радиус-вектор r Рис. 14.1. произ­вольны, то

Ω= ω₁+ ω₂ (14.3)

Из формулы (14.3) следует, что совокупность двух вращений, проис­ходящих вокруг пересекающихся осей, эквивалентна одному вращению, происходящему с мгновенной угловой скоростью, равной сумме угловых скоростей составляющих вра­щений.

Замечание.В случае ω₁ = ω₂ из (14.3) следует, что v_M=0. Следова­тельно, совокупность двух вращений вокруг одной и той же оси, происходя­щих с одинаковыми по модулю, но противоположно направленными угловыми скоростями, эквивалентна покою. Такую совокупность движений всегда можно присоединять к любому сложному движению тела.

Совокупность п вращений вокруг пересекающихся в одной точке осей эквивалентна одному вращению с мгновенной угловой скоростью

Полученное правило сложения вращений вокруг пересекаю­щихся осей позволит нам теперь выразить проекции мгновенной угловой скорости тела, имеющего одну неподвижную точку О, через углы Эйлера и их производные.

соответствующее изменению угла собственного вращения φ, про­исходит вокруг оси Oz с угловой скоростью ψк. Следовательно, абсолютная угловая скорость ω тела будет

ω= k₁+ i'+ k

Составим таблицу направляющих косинусов единичных векто­ров k₁, i' и k в системе подвижных осей Oxyz:

Поясним составление первой строки этой таблицы (вторая и третья строки непосредственно следуют из рис. 14.3, а). Разложим единичный вектор k₁ на две взаимно перпендикулярные составляю­щие, направив одну из них по оси z (она равна cos θ k , см. рис. 14.3,б); тогда вторая составляющая, равная sin θ j', где j' - единичный вектор вспомогательной оси η, будет находиться в плоскости ху. Следовательно,

k₁ = cos θ k + sin θ j'

Вспомогательная ось η составляет с осями х и у углы и . Проектируя единичный вектор на оси , и получим (напомним, что проекции единичных векторов равны соответст­вующим направляющим косинусам):

cos (k₁, x) = sin θ sin φ, cos (k₁, у) = sin θ cos φ, cos (k₁, z) = cos θ.

Эти выражения и составляют первую строку таблицы направ­ляющих косинусов.

Проектируя теперь обе части равенства (14.4) на оси х, у, z и учитывая таблицу косинусов, найдем проекции вектора угловой скорости тела на оси, жестко связанные с телом:

ω_x = sin θ sin φ + cos φ

ω_y = sin θ cos φ + sin φ (14.6)

ω_z = cos φ +

Полученные соотношения носят название кинематических уравнений Эйлера.

Модуль угловой скорости определяется равенством

Таблица направляющих косинусов между единичными векто­рами k₁, i' и k в системе неподвижных осей Ох₁ y₁ z₁ имеет вид

Для того чтобы получить последнюю строку, мы разложили век­тор k на две составляющие, направив одну из них по оси z₁ (она равна cos θ k₁; см. рис. 14.4); тогда вторая, равная sin θ j", где j" - единичный век­тор новой вспомогательной оси η, бу­дет находиться в плоскости Ох₁у₁:

k₁ = cos θ k₁ + sin θ j''

Третья строка второй таблицы получена проектированием этого равенства на оси x₁, у₁, z₁. Проектируя теперь обе части равенства (14.4) на оси x₁, у₁, z₁ Рис 14.4. и пользуясь второй таблицей направ­ляющих косинусов, найдем проекции вектора угловой скорости на неподвижные оси координат:

ω_x1 = cos ψ + sin θ sin ψ

ω_y1 = sin ψ - sin θ sin ψ (14.8)

ω_z1 = ψ + cos θ

Кинематические уравнения Эйлера (14.6) и (14.8) устанавли­вают связь между проекциями вектора угловой скорости ω на соответствующие оси, углами Эйлера ψ, θ и φ и их первыми производными по времени.

Задача 14.1.Планетарный редуктор с коническими шестернями передает вращение вала I на вал II (рис. 14.5). Определить число оборотов в минуту вала II и число оборотов в минуту в абсолютном и относительном вращении сателлитов, если дано: r₁ = 80 мм, r₂ = 80 мм, r₃ = 60 мм и n = 600 об/мин.

Подвижная шестерня 3 вращается вокруг своей оси ОB и вместе с этой осью вращается вокруг оси ОА; мгновенная ось абсолютного движения Рис. 14.5. ше­стерни 3 проходит через точку пересечения осей слагаемых вращений, т. е. через точку О и точку С (так как шестерня I неподвижна). Для определения числа оборотов абсо­лютного движения шестерни 3 и числа оборотов при относительном вращении ее вокруг своей оси вос­пользуемся формулой (14.3), кото­рая в рассматриваемом случае при­нимает вид

ω_a= ω₊ ω₃

где ω_a — абсолютная угловая ско­рость шестерни 3, ω — угловая ско­рость вала I, ω₃ — относительная угловая скорость шестерни 3.

Из рассмотрения подобных тре­угольников Оаb и СВО (см. рис. 14.5) следует

или

где n₃- число оборотов в минуту шестерни 3 в относительном движении, а n- число оборотов в минуту вала I. Отсюда имеем

об/мин.

Абсолютная угловая скорость шестерни 3 равна

причем через п_а обозначено число оборотов в минуту шестерни 3 в абсолютном движении.

В точке Dпроисходит зацепление шестерен 2 и 3, поэтому скорости точек шестерен 2 и 3, совпадающих с точкой D, равны между собой.

Скорость точки В шестерни 3 равна

и, следовательно,

Но скорость точки Dшестерни 2 равна

Таким образом, учитывая, что r₁ = r₂получим

об/мин.