Ordm;. Геометрические характеристики криволинейных координат.

Пусть соотношение (1)

задает связь криволинейных координат , , вектора с декартовыми , , .

Зафиксируем одну из криволинейныхкоординат. Например, положим в (1) = = . В полученном соотношении

= (4)

координаты , будем рассматривать как переменные параметры.

Очевидно, в пространстве уравнение (4) задает поверхность. Она называется координатной поверхностью, отвечающей координате , или первой координатной поверхностью. Обозначим ее .

Аналогично определяются координатные поверхности, отвечающие координате и координате – вторая и третья координатные поверхности.

Обозначим их и , соответственно. Уравнения поверхностей и получаются из (1) фиксированием одной из координат = или = , соответственно.

Если зафиксируем в (1) значения двух криволинейныхкоординат = = и = = , то будем иметь

= .

Это соотношение задает в пространстве кривую, которая является пересечением координатных поверхностей и :

= , = .

Такая кривая называется первой координатной линией. Аналогично определяются вторая и третья координатные линии. Их уравнения имеют вид и , соответственно. Вторая координатная линия является пересечением координатных поверхностей и :

и ,

а третья координатная линия — пересечением поверхностей и :

и .

Координатные линии, очевидно, пересекаются в точке , обобщенные координаты которой имеют значения , , . Здесь , , — значения переменных , , , по которым строились первая, вторая и третья координатные линии.

Вернемся к примеру 1. В цилиндрической системе координатные поверхности и координатные линии изображены на рис. 1.

Координатными поверхностями являются:

– первая – = – цилиндрическая поверхность (на рисунке изображена часть этой поверхности, ограниченная дугами и и отрезками и );

– вторая – = – полуплоскость, ограниченная осью и проходящая через ось и точку (на рисунке – это плоскость прямоугольника );

– третья – = – плоскость, параллельная плоскости и проходящая через точку (на рисунке – это плоскость сектора ).

Координатные линии:

– ( )=( ) – первая (луч с направляющим ортом );

– ( )=( ) - вторая (окружность радиуса с центром в точке ; ее плоскость ортогональна орту ; – орт касательной в точке );

– ( )=( ) – третья (прямая с направляющим ортом = ).