Определение 7.

Дифференциал вектор-функции , вычисленный в точке , называется линейным перемещением точки из положения .

Дифференциал криволинейной координаты называется линейным перемещением точки по обобщенной координате , а дифференциал — линейным перемещением точки по контравариантной координате .

Согласно определению дифференциала вектор-функции , имеем

= . (10)

Здесь — линейное перемещение точки по координате .

Вектор имеет своим началом точку . Его контравариантные координаты обозначаем через , так что можем записать

= + + , (11)

где = .

С другой стороны, учтем связь (6) вектор-функции с контравариантными координатами , .

= + ,

Здесь векторы и , , не зависят от , , . Тогда, согласно определению дифференциала функции , рассматриваемой как векторная функция переменных , , и задаваемой этой формулой, можем записать:

= . (12)

В (12) обозначают дифференциалы координат . Сопоставляя (11) и (12), видим, что величины , являющиеся коэффициентами при в (11), должны совпадать с коэффициентами при в формуле (12). Иначе говоря, дифференциалы в (12) являются координатами вектора в основной системе:

= , .

Вернемся к соотношению (10). Преобразуем его правую часть, учитывая, что из (5) можем записать равенства

, .

Подставляя их в правую часть (10), придем к следующему представлению линейного перемещения :

= .

Сопоставляя его с (12), получаем

= , .

Здесь коэффициенты Ламе вычисляются в точке . Таким образом, установили связь линейных перемещений по контравариантной координате с линейными перемещениями по криволинейной координате . Такая связь формулируется следующим образом.

Дифференциал контравариантной координаты равен произведению коэффициента Ламе, вычисленного в точке , на дифференциал криволинейной координаты .

При естественном способе задания движения точки ее траектория часто задается с использованием криволинейных координат. Параметрическое задание траектории в таком случае имеет вид

= , = , = , ,

где , , — дважды непрерывно дифференцируемые функции на промежутке .

Для того чтобы перейти к естественному способу задания движения, требуется построить естественную параметризацию траектории. Для этого, как показано в §2, необходимо определить связь длины дуги с параметром , являющимся внутренней переменной заданной траектории. Искомая связь будет установлена, если укажем зависимость дифференциала длины дуги от дифференциала внутренней переменной.

С целью решения поставленной задачи построим параметризацию траектории, заданной параметрически функциями , , . Параметризацию получим, если подставим в (1) вместо криволинейных координат , , координатные функции , , , соответственно. В результате придем к следующему векторному соотношению

= = , (13)

которое при каждом значении задает положение в пространстве точки , имеющей криволинейные координаты , , на заданной траектории. А тогда можем записать

,

где — линейное перемещение точки по кривой .

Из (13) находим

,

и, следовательно,

. (14)

Здесь — метрические коэффициенты основной системы координат, а и — коэффициенты Ламе. Все коэффициенты вычисляются в произвольном положении точки на заданной кривой.

Если не фиксировать траекторию точки (считать ее произвольной), то, учитывая, что линейное перемещение связано с линейными перемещениями криволинейных координат , , соотношением = , получим следующее выражение для дифференциала дуги на любой траектории:

.

В нем следует положить

, ,

в том случае, когда траектория фиксирована и определяется криволинейными координатами , , . В результате такой замены придем к соотношению (14).