Определение 10.

Величина называется обобщенной скоростью точки по координате в момент времени . Величина называется обобщенным ускорением точки по координате в момент времени .

Установим формулу связи скорости и ее контравариантных координат с обобщенными скоростями в произвольный момент времени . Поскольку в векторной форме движение задается формулой

,

то по определению скорости можем записать

= .

С одной стороны, вычисляя производную с учетом того, что функция, стоящая под символом , является суперпозицией вектор-функции от трех переменных , , и заданных функций , , , зависящих от времени , будем иметь

= = . (26)

С другой стороны, вектор можем разложить по базису , , , вычисленному в точке , имеющей значения криволинейных координат = , = , = в заданный момент времени . И тогда придем к следующему выражению для :

. (27)

Согласно определению координат любого вектора, множители при базисных векторах , , в разложении (27) называются контравариантными координатами скорости в аффинной системе, имеющей начало в точке .

Сопоставляя (26) и (27), получаем

= , . (28)

Здесь — коэффициент Ламе по координате , соответствующий моменту времени .

Формула (28) дает связь контравариантных координат скорости с обобщенными скоростями , .

С учетом (27) и (28), находим выражение для квадрата модуля скорости:

. (29)

Установим теперь связь ковариантных координат , , с обобщенными скоростями . Согласно определению ковариантной координаты имеем . Подставляя (27) и (28), находим искомую связь

. (30)

В частности, из (28), (29) и (30) можем сделать следующий вывод.

Если — ортогональный ортонормированный базис при любых значениях , , (т.е. криволинейные координаты , , — ортогональные), то

= , , и = .

В общем случае (когда криволинейные координаты — не ортогональные) ковариантные и контравариантные координаты будут отличаться друг от друга:

¹ , .

Дадим другой способ вычисления координат . Для этого сначала введем в рассмотрение функцию , зависящую от шести независимых переменных, и докажем лемму Лагранжа, устанавливающую связь производных от функции и от функции .

Указанную функцию определим следующей формулой

. (31)

Независимыми переменными в ней будем считать криволинейные координаты , , и обобщенные скорости , , . Следует заметить, что точка, стоящая в обозначениях переменных , , , не означает дифференцирование переменных , , по времени . Это всего лишь символ в данных обозначениях.

В правой части равенства (31) вектор является вектор-функцией , задающей связь (1) криволинейных координат точки с декартовыми.

Функцию будем считать заданной при всех и при любых значениях , , .

Поскольку дважды непрерывно дифференцируема по своим аргументам, то будет непрерывно дифференцируема по переменным , , . Кроме того, она линейна по обобщенным скоростям , , .

Пусть задано произвольное движение точки в криволинейных координатах , . Вычислим значения функции на этом движении, полагая, что переменные , , связаны с обобщенными скоростями в любой момент времени на данном движении равенствами

, .

Для того чтобы вычислить искомое значение функции, необходимо заменить в правой части равенства (31) переменные на , а — на , .

Действительно, согласно определению мгновенной скорости в момент времени , необходимо вычислить движение , а затем взять производную по от него. Так что будем иметь

.

Это выражение будет совпадать со значением функции , задаваемым формулой (31), в котором переменные заменены на , а на для .

В результате получим вектор , совпадающий по значению с вектором , вычисленным по формуле (26).

Поскольку установленное таким образом равенство справедливо на любом движении и в любой момент времени , то можем сделать заключение о том, что формула (31) дает связь обобщенных скоростей точки с ее скоростью в абсолютном пространстве в соответствующем положении

= .

Установим теперь связь производных от функции с производными и от функции . Такая связь дается леммой Лагранжа. Прежде чем формулировать лемму Лагранжа, введем понятие производной от функции вдоль движений точки .

Вычислим производную от функции и обозначим ее . Пусть задано движение точки в криволинейных координатах

, . (32)

Определим значения функции , которые она может принимать на движении (32). Ясно, что эти значения задаются вектор-функцией , которая получается заменой в аргументов на правые части (32).

Вычислим производную по от функции .

. (33)

Функция , стоящая в левой части (33), имеет смысл скорости изменения функции вдоль движения (32). В правой части (33) указывается ее аналитический вид, построенный по правилам дифференцирования по времени функции как сложной функции, в которой аргументы , , задаются движением (32).

Как известно, правило дифференцирования сложной функции предполагает выполнение следующих операций.

1. Вычисление частных производных от функции . В результате получают три функции,

, ,

зависящие от трех переменных .

2. Каждая функция с номером умножается на переменную , и производится суммирование по всех построенных произведений. В результате будет построена функция, зависящая от шести переменных и . Будем записывать эту функцию в операторной форме или, что то же самое, в форме . В явном выражении этот оператор принимает вид:

. (34)

3. В построенной на этапе 2 функции (34) переменные заменяются функциями , а переменные — производными , , где — правые части (32), определяющие заданное движение материальной точки.

Результатом произведенных действий, описанных на этапах 1,2,3, является функция, зависящая только от одной независимой переменной — от времени , которая совпадает с правой частью равенства (33).

Однако обратимся к функции (34), построенной в процессе вычислений на этапе 2.