Лемма Лагранжа.

При всех и любых значениях переменных , , выполняются равенства

а) = , ;

б) = , .

Здесь задается формулой (1), — формулой (31), а — правой частью равенства (34).

Доказательство.

Равенство а) легко проверяется, поскольку функция линейно зависит от . Равенство б) проверяется непосредственным вычислением левой и правой части. Вычисляя левую часть равенства б) в формулировке леммы Лагранжа, получим:

= . (35)

Последнее равенство в соотношении (35) записано на основе того, что функция дважды непрерывно дифференцируема по переменным , , . А тогда смешанные производные от по и будут непрерывными и, следовательно, порядок дифференцирования при их вычислении можно переставлять. При такой перестановке значения смешанных производных будут совпадать:

= .

Сопоставляя (35) и (34), видим, что правая и левая части равенства б) совпадают. Лемма доказана.

Применим лемму Лагранжа к выводу формулы для вычисления ковариантных координат , , скорости . Поскольку

= , = , ,

то можем записать

= = .

Подставляя соотношение а) из леммы Лагранжа и учитывая, что задается формулой (31), а для нее справедливо очевидное равенство

= ,

где = = , окончательно находим

= , . (36)

Отметим здесь, что полученная формула (36) для отличается по виду от (30). Однако легко видеть, что она совпадает с (30), если учесть в (36), что функция задается правой частью равенства (29). На практике часто бывает удобнее сначала построить функцию , а затем для вычисления применить формулу (36) вместо непосредственного применения (30).

В заключение установим связь декартовых и криволинейных координат скорости. Легко видеть, что

= = = = = .

Отсюда круговой перестановкой координат и ортов получим выражения для и :

,

.

В матричной записи полученные выражения для , и примут вид:

= = ,

где — матрица перехода от аффинной системы к декартовой прямоугольной системе координат,

= .

В данном выражении элементы матрицы вычисляются в точке (а не в точке ).