Кинематические характеристики точки в сферических координатах.

Как отметили в §5,формулы связи декартовых и сферических координат имеют вид:

= , = , = , = .

Полагаем

= , = , = .

1. Вычислим базис криволинейной аффинной системы координат

= , .

КоэффициентыЛаме будут выражаться через криволинейные координаты , , по формулам:

; ;

.

А тогда = = = + + ,

= = =- + = ,

= = =- - + = .

2. Легко показать, что ( , ) , =1, , , т.е. сферическая система координат — ортогональная.

3. Вычислим скорость в проекциях на орты , , , т.е. вычислим ковариантные координаты , , скорости . Поскольку сферическая система координат ортогональная, то

= = = = , = = = = , = = = = .

= = = ,

Из этих соотношений легко находятся направляющие косинусы в системе :

( + + , ,

,

.

4. Вычислим ускорение в проекциях на орты , , , используя формулу Лагранжа. Для этого построим :

= .

Тогда = , = . Отсюда, применяя формулу Лагранжа, находим

= = = - = . (1)

Аналогично для получаем = , ,

.(2)

В свою очередь для будем иметь = , = ,

= = = - = + + . (3)

Подстановкой (1),(2),(3) в формулу = = можем выписать выражение для модуля ускорения .

Подстановка , , , в соотношения

= ( - - ),

= ( + - ),

= ( + )

дает формулы связи направляющих косинусов вектора в системе с криволинейными координатами , , , обобщенными скоростями , , и обобщенными ускорениями , , .