Кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах.

Определим кинематические характеристики точки в цилиндрических координатах. Как отметили в §5,связь цилиндрических и декартовых координат задается формулами

= , = , = , = . (1)

Полагаем = , = , = .

1. Вычислим базис криволинейных координат в произвольной точке

= , .

Для этого находим коэффициентыЛаме:

= = .

Подставляя формулы (1) для , , и вычисляя производные по , получим .

Аналогично вычисляются , : = = , = =1. А тогда

= = + = , = =- + = = ,

= = = .

Направления векторов , , показаны на рис.1 §5.

2. Непосредственным вычислением и ( , ) для легко показать, что , , — ортонормированный ортогональный базис, т.е. цилиндрическая система координат — это ортогональная криволинейная система координат.

3. Вычислим скорость в проекциях на орты , , . Поскольку цилиндрическая система координат ортогональная, то

= = , = = , = = .

А тогда, поскольку = , получаем

= = = , = = = , = = = ,

= = , = .

Из последней формулы легко находятся направляющие косинусы в декартовой системе координат :

= , = ,

= .

4. Вычислим ускорение в проекциях на орты , , . Применим формулу Лагранжа. Для этого определим функцию :

= .

Отсюда находим = , = . Согласно формуле Лагранжа имеем = = = - . Следовательно, = - .

Проведя аналогичные расчеты для координат и , получим:

= , , = = = - = ( ), или = ,

= , , = = = - , или = .

Тогда для будем иметь = .

Направляющие косинусы в системе будут выражаться по формулам:

= ( - ),

= ( + ), = .

Формулы для направляющих косинусов вектора и вектора получены проектированием на орты , , векторов

= + + ; = + + .