Примечание 1. Поясним смысл терминов «ковариантные» и «контравариантные» координаты.

Поясним смысл терминов «ковариантные» и «контравариантные» координаты.

Выше доказали формулу (23):

,

где , , — координаты вектора в союзной системе, , , — координаты этого же вектора в основной системе, — матрица метрических коэффициентов основной системы.

Из (23) заключаем, что имеет второй смысл. Она является матрицей перехода от основной к союзной системе координат.

Заметим, что основное правило, по которому осуществляется расчет координат вектора в любой новой системе координат по координатам этого вектора, известным в некоторой фиксированной аффинной системе, является соотношение вида

, (24)

где — координаты вектора в «новой системе» координат, , , — координаты вектора в заданной (фиксированной, «старой») системе, — неособая матрица, называемая матрицей перехода от «старой» системы к «новой» системе координат.

Фиксируем неособую матрицу . Будем говорить, что координаты любого вектора согласованно изменяются по отношению к его координатам , , заданным в фиксированной основной системе координат, если они рассчитываются по формуле (24).

Определение 9.

Система координат, для которой является матрицей перехода от фиксированной основной системы, называется согласованной с основной системой через матрицу .

Из (23) следует, что союзная система является согласованной с основной через матрицу метрических коэффициентов основной системы. Поэтому координаты векторов в этой (союзной) системе называются ковариантными (слово «ковариантные» в переводе с французского означает «согласованно изменяющиеся»). Они согласованно изменяются через матрицу .

Основные координаты вектора могут быть вычислены через согласованные координаты (координаты этого вектора в новой системе координат) при фиксированной матрице по формуле

, (25)

Очевидно, матрица является матрицей перехода от «новой» системы координат к «старой» (основной) системе.

В этом случае выражение (25) можем трактовать как обратный закон пересчета координат, а координаты вектора в основной («старой») системе могут рассматриваться как координаты «противоположно меняющиеся» при фиксированной матрице по отношению к новым координатам.

Поэтому координаты вектора в основной системе (координаты ) по отношению к союзной системе принято называть контравариантными координатами (при переводе с французского слово «контравариантные» означает «обратно изменяющиеся»).

Термин «контравариантные координаты» имеет и другой смысл. А именно, он означает, что эти координаты меняются (рассчитываются) по обратному закону относительно некоторой фиксированной системы координат. Если матрица задана, то согласно определению 9 эти координаты согласованы с заданной фиксированной системой координат через обратную матрицу .

Применим это правило к основной и союзной системам координат.

Если считать, что координаты союзной системы фиксированы (заданы), а основной — пересчитываются по ним, то этот пересчет осуществляется с помощью обратной матрицы . А тогда согласно указанному выше правилу координаты основной системы следует называть «контравариантными», поскольку они согласованы с фиксированными (союзными) через обратную матрицу .