Определение 6.

Если основная система координат ортогональна при любых значениях , , из области , то криволинейные координаты , , называются ортогональными.

Справедливо следующее утверждение.

Криволинейные координаты ортогональны тогда и только тогда, когда при любых , , из области выполняются условия

, , . (9)

Утверждение очевидно.

Следует отметить, что условия (9) ортогональности криволинейных координат должны выполняться при любых значениях криволинейных координат , , из области . Иначе говоря, равенства (9) должны быть справедливы в любом положении точки . Этот вывод вытекает из определения 6 ортогональных криволинейных координат.

Но данное требование равносильно тому, что соотношения (9) должны выполняться в любой точке , имеющей координаты .

Поэтому при вычислении векторов и по формулам (5) можно заменить в (5) координаты , , точки на координаты , , точки .

Такое действие позволяет исключить индекс «0» в обозначении аргументов , , при вычислении производных от вектор-функции в формулах (6) и требовать от равенств (9), чтобы они выполнялись при любых значениях .

С учетом сказанного условия (9) в скалярной форме примут вид:

, , , при .

К ним следует присоединить условие (2) некомпланарности векторов , , :

,

причем:

– если тройка векторов , , правая, то

, , ,

– если тройка векторов , , левая, то

, , .