Ordm;. Коэффициенты Ламе. Основная система координат.

Контравариантные координаты.

Зафиксируем точку с криволинейными координатами , , . Введем следующую аффинную систему координат.

Начало ее совпадает с точкой . Первая координатная ось совпадает с касательной в точке к первой координатной линии. Вторая координатная ось совпадает с касательной в точке ко второй координатной линии. Третья координатная ось совпадает с касательной в точке к третьей координатной линии (см. рис. 3).

На рисунке 3 координатная ось с номером обозначена , . Координатная линия с номером обозначена . Координатная поверхность с номером обозначена . Координатные линии выделены жирным цветом.

Так как — дважды непрерывно дифференцируемая функция, то функция будет также дважды непрерывно дифференцируемой по . Аналогичное утверждение справедливо для функции относительно и для функции относительно . Поэтому касательные к координатным линиям в точке существуют.

Рис. 3.

Направляющие векторы этих касательных будут коллинеарны, соответственно, векторам

, , .

Здесь выражение означает, что вектор вычислен в точке с координатами , , .

В силу условия (2) векторы , , в точке будут некомпланарны. Обозначим орты этих векторов , . Тогда

= , , (5)

где = = .

Очевидно, вектор указывает направление изменения положения точки относительно точки при возрастании координаты .