Определение 4.

Аффинную систему координат с базисом будем называть основной системой координат, соответствующей криволинейным координатам , , , а координаты произвольной точки в этой системе — контравариантными координатами точки .

Из определения 1 (криволинейных координат), формулы (5) и определения 4 (основной системы) следует, что основная система координат существует в любой в точке . Положение ее полюса относительно точки отсчета в абсолютном пространстве и базис однозначно определяются по формулам (1) и (5) при любых фиксированных значениях , , криволинейных координат , , из области .

Обозначим = радиус-вектор точки относительно точки . Его связь с контравариантными координатами задается разложением по векторам :

= .

Связь произвольных положений точки относительно точек отсчета и определяется соотношением

= + = + .

В нем и обозначают положения относительно точки отсчета точек и , соответственно, а = — положение точки относительно точки отсчета .

Пусть и — криволинейные координаты точек и , соответственно. Тогда согласно (1) вектора и определяются равенствами = и = , и указанную связь можем переписать в следующей форме

= + . (6)

Равенство (6) определяет в неявном виде зависимость обобщенных координат , , точки от ее контравариантных координат и от криволинейных координат точки , в которой построена соответствующая основная система .

Из формулы (6) легко получить также связь декартовых координат , , с контравариантными координатами , , . Действительно, в (6) базисные вектора основной системы вычисляются через криволинейные координаты , , точки , соответственно, по формулам

= , = , .

Поэтому, проектируя (6) на оси , , , получим искомую связь:

= + + + = + ,

= + + + = + , (7)

= + + + = + ,

где = , = , = , , вычисляются в точке , , , — декартовые координаты точки , , , — декартовые координаты точки .

В матричном виде соотношения (7) запишутся так:

= + , (8)

где = .

Матрица называется матрицей перехода от основной системы координат к декартовой прямоугольной системе .

Ее элементы вычисляются через криволинейные координаты , , точки . Столбцы матрицы состоят из направляющих косинусов векторов относительно осей системы .

Из (8) находим обратную зависимость , , от , , :

= .

Матрица называется матрицей перехода от системы к основной системе .

Установим теперь связь матрицы метрических коэффициентов , , основной системы координат с криволинейными координатами , , . Поскольку = , то, подставляя (5), находим

= = , .

Очевидно, при , так как . Поэтому в общем случае основная система координат, построенная в любой точке , является косоугольной.

Легко видеть, что через матрицу матрица может быть представлена произведением

= .

Отсюда следует, в частности, что , где обозначает смешанное произведение векторов .