Алгоритм построения радиуса кривизны кривой.

Пусть кривая задается параметрически:

, , , . (18)

1). Задаем какое-либо движение по кривой: . Например, в качестве берем функцию .

2). Вычислим величины и . Очевидно, можем записать:

= , = , = .

Здесь , , — заданные функции (18). Отсюда получаем формулу для вычисления величины , стоящей в правой части соотношения (17), = .

Аналогично, имеем

= = , = = , = = .

По формуле = , подставляя соотношения (18), находим величину , стоящую под корнем в правой части выражения (17).

3). Вычислим величину . Формулу для ее расчета получаем через последовательность следующих очевидных соотношений

= = = = .

4). Подставляя в выражение для радиуса кривизны (17)

=

вычисленные значения , , , получим требуемое.

Применение алгоритма рассмотрим на примере вычисления радиуса кривизны эллипса в любой его точке.

Уравнение эллипса в декартовых координатах имеет вид:

.

Переходим к параметрическому уравнению эллипса: , .

Задаем закон движения по эллипсу: . Тогда

1). = = , = = , .

2). = , = , = .

3). = ( + ) ( ) .

Подставляя , и = в (17), получим формулу для вычисления радиуса кривизны эллипса в любой его точке

= = .

В декартовых координатах она будет иметь вид

= . (19)

В частности, если , то эллипс вырождается в окружность. Тогда , и из (19) получим = в любой точке окружности.

Пусть . Вычисляем в вершинах эллипса. В вершинах на оси имеем . Для них из (19) получим

= .

В вершинах на оси имеем . Из (19) следует, что в них

= .