Ordm;. Понятие полярной системы координат.

Полярная система координат задается следующим образом (см. рис.7).

Фиксируем в плоскости движения точку отсчета и ось , проходящую через точку отсчета. Фиксируем положительное направление отсчета расстояний от точки вдоль этой оси, задаваемое ортом .

Положительная полуось называется полярной осью.

Пусть в некоторый момент времени материальная точка занимает на плоскости положение , где . Будем определять это положение расстоянием от точки до точки и углом , который образует вектор с полярной осью. Угол отсчитываем от полярной оси до вектора .

Положительным направлением отсчета угла считается направление против часовой стрелки, если смотреть с конца орта , выбранного для ориентации данной плоскости и ортогонального ей.

Построенная таким образом система координат называется полярной системой, а координаты и называются полярными координатами точки.

полярная ось

Рис.7.

Введем декартовую прямоугольную систему координат , в которой (см. рис.7):

— точка отсчета совпадает с полюсом полярной системы;

— совпадает с полярной осью;

— ортогональна плоскости движения, и орт является ее

базисным вектором, определяющим ориентацию плоскости ;

— дополняет систему до правой.

Тогда связь и полярной системы задается очевидным соотношением

, , . (1)

Здесь , , — декартовые координаты точки ; и — ее полярные координаты, причем и изменяются в пределах и .

Из (1) вытекает, что и однозначно определяют координаты и точки в плоскости . Из них легко получить обратную зависимость, т.е. зависимость полярных координат и точки от ее декартовых координат и ,

, . (2)

Второе равенство в (2) справедливо только при . Если , , то из первого равенства в (1) получаем . А тогда с учетом второго равенства в (1) будем иметь:

если , то = ; если , то = .

Если и , то , и угол может принимать любые значения.

Таким образом, если , то по координатам точки однозначно определяются ее полярные координаты и :

, ,

где функция называется функцией аргумент. Она имеет следующую аналитическую структуру:

=

Функция не определена в точке и однозначна во всех остальных точках плоскости .