Основные определения. Глава 4. Сложное движение.

Глава 4. Сложное движение.

Сложное движение материальной точки.

Ordm;. Постановка задачи о сложном движении точки.

Основные определения.

С абсолютным пространством свяжем систему отсчета (см. рис.1). Напомним, что — это некоторая точка абсолютного пространства, называемая точкой отсчета. Система — это декартовая прямоугольная система координат с полюсом в точке , называемая системой отсчета.

Рис.1.

Обозначим = - положение произвольной точки относительно точки отсчета ; , , — ортонормированный базис системы отсчета ; , , — координаты точки в этой системе. Тогда можем записать

= .

Пусть задано движение точки в пространстве по закону

= = . (1)

В пространстве выберем другую декартовую прямоугольную систему координат с полюсом в точке и ортонормированным базисом , , . Положение точки в ней обозначим = , а её координаты — , , . В этих обозначениях положение точки в системе задается следующим разложением по базисным векторам , , :

= . (2)

Будем говорить, что система координат является подвижной системой координат в абсолютном пространстве , если и (или) ее полюс совершает движение в абсолютном пространстве, и (или) базис , , изменяет свою ориентацию с течением времени.

Обозначим - положение точки в системе , т.е.

= = .

Здесь , , — координаты точки в системе . Пусть - матрица перехода от системы к системе . Тогда для того чтобы задать движение системы , необходимо задать вектор-функцию и ортогональную матрицу , по которым в каждый момент времени должны вычисляться положение полюса и матрица ориентации системы :

= , = . (3)

Если , , обозначить координаты вектор-функции в системе , то первое равенство в (3), задающее движение полюса , можно записать в виде:

. (4)

Будем называть подвижным пространством, связанным с системой отсчета , множество точек , которые в этой системе отсчета сохраняют значения своих координат неизменными с течением времени . Иначе говоря, точки этого пространства находятся в покое относительно системы отсчета .

Подвижное пространство можно интерпретировать как некоторое фиктивное твердое тело неограниченных размеров, для которого система является связанной системой координат.

Действительно, если сопоставить определение подвижного пространства и определение связанной системы координат для твердого тела, то увидим, что свойства точек фиктивного твердого тела с точки зрения связанной с ним системы координат и свойства точек подвижного пространства, имеющего в качестве системы отсчета ту же систему , совпадают.

Движение точки в подвижном пространстве будем определять дважды непрерывно дифференцируемой вектор-функцией , которая в каждый момент времени задает положение точки в системе координат . А это значит, что в каждый момент времени имеет место равенство:

= , (5)

где = — положение точки в системе , имеющее разложение по базису , , данной системы в виде (2).

Если , , - координаты вектор-функции в системе , то равенство (5) примет вид:

= . (6)

Определение 1.

Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным движением.

Относительное движение задается вектор-функцией и равенствами (5) или (6), в которых обозначает положение точки в подвижном пространстве, имеющем систему отсчета . Индекс у функции выделяет функцию в классе дважды непрерывно дифференцируемых векторных функций как функцию, задающую определенное относительное движение точки.

Определение 2.

Движение точки по отношению к абсолютной системе координат называется абсолютным движением.

Абсолютное движение точки задается вектор-функцией и соотношением (1).

Определение 3.

Переносным движением будем называть движение подвижного пространства с системой отсчета относительно абсолютного пространства с системой отсчета . Иначе говоря, переносное движение — это движение фиктивного твердого тела в абсолютном пространстве.

Пусть — произвольная точка фиктивного твердого тела, и ее положение задается вектором = в системе и вектором = в системе . Тогда движение точки в абсолютном пространстве определяется равенством

= . (7)

Если обозначить правую часть (7) векторной функцией , зависящей от времени и положения точки ,

= , (8)

то (7) перепишется в виде

= . (9)

Очевидно, соотношение (9), рассматриваемое при всевозможных значениях векторов с постоянными координатами в системе , задает семейство движений в абсолютном пространстве, которое согласно определению 3 называется переносным движением в задаче о сложном движении точки.

Если фиксировать какое-либо одно значение в системе отсчета , то вектор-функция выделяет из семейства (9) движение в абсолютном пространстве той точки , которая занимает неизменное положение = в подвижном пространстве.

Определение 4.

Переносным движением точки называется абсолютное движение точки фиктивного твердого тела, с которой по своему положению в момент времени совпадает точка .

Из определения 4 вытекает, что переносное движение точки задается равенствами (8)-(9), в которых следует положить = , где = — фиксированное в момент времени положение точки в системе отсчета . Иначе говоря, переносное движение точки определяется по формуле

= = . (10)

В вектор-функции от времени зависят только и матрица ориентации , а вектор остается неизменным. Слева стоит вектор = , которым устанавливается положение точки в абсолютном пространстве, задаваемое ее переносным движением.

Определение 5.

Абсолютное движение точки , задаваемое ее переносным и относительным движением, называется сложным движением этой точки.

Основная задача кинематики сложного движения:

– установить связь между абсолютным движением и движениями переносным и относительным;

– установить связь между кинематическими характеристиками указанных движений.

Движения переносное и относительное называются составляющими сложного движения материальной точки.