Ordm;. Постановка задачи о сложном движении твердого тела.

Будем говорить, что тело совершает сложное движение, если оно движется в пространстве, которое, в свою очередь, движется, т.е. является подвижным пространством.

Определение 1.

Движение твердого тела относительно подвижного пространства и движение подвижного пространства относительно абсолютного называются составляющими сложного движения твердого тела.

Замечание 1.

Подвижное пространство (в котором движется твердое тело) может совершать движение в другом подвижном пространстве, т.е. в пространстве, движущемся в абсолютном. Тогда также говорят, что это дополнительное подвижное пространство является составляющим движением сложного движения. Очевидно, в общем случае можем говорить, что твердое тело совершает сложное движение с составляющими движениями.

Основными задачами кинематики сложного движения является задача установления связи между абсолютным движением твердого тела и составляющими движениями, а также задача установления связи между кинематическими характеристиками составляющих движений и абсолютного движения твердого тела.

Будем рассматривать решение указанных задач в случае . Результаты решения задач для легко распространяются на случай .

Прежде чем приступить к решению поставленных задач, введем понятия мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения переносного и относительного движения твердого тела. Для этого сначала введем обозначения (см. рис.3):

– — абсолютная система координат с полюсом в точке и базисом , , ;

– — подвижная система координат с полюсом в точке и базисом , , ;

– — связанная с твердым телом система координат с полюсом в точке и базисом , , ;

– — матрица ориентации подвижной системы в абсолютном пространстве, иначе, матрица перехода от к ; , ;

– — матрица ориентации твердого тела в подвижном пространстве , иначе, матрица перехода от к ; , .

Рис.3.

Пусть — произвольно выбранная точка твердого тела. Введем обозначения для следующих векторов:

= , = , = , = , = , = .

Здесь

– — положение полюса подвижной системы относительно точки отсчета , выбранной в абсолютном пространстве; оно задается абсолютными координатами ;

– — положение полюса связанной с твердым телом системы координат относительно точки отсчета ; задается абсолютными координатами ;

– — положение полюса связанной системы относительно полюса подвижной системы ; задается координатами в подвижной системе ;

– — положение точки твердого тела в связанной системе ; задается координатами ;

– — положение точки твердого тела в подвижном пространстве ; задается координатами ;

– — положение точки твердого тела относительно точки отсчета в абсолютном пространстве; задается абсолютными координатами .

Теперь дадим понятия векторов мгновенной угловой скорости и мгновенного углового ускорения твердого тела в его переносном и относительном движениях.

Определение 2.

Переносной мгновенной угловой скоростью и переносным мгновенным угловым ускорением твердого тела в его сложном движении называются соответственно вектор мгновенной угловой скорости и вектор мгновенного углового ускорения подвижной системы координат относительно абсолютного пространства.

Сопоставляя данное определение 2 с определением 4 из §2 для векторов и , видим, что

= и = .

Как и вектор , вектор связан с движением базиса , , системы в абсолютном пространстве в любой момент времени соотношением (5) §2.

. (1)

В (1) вектор-функции , , задаются своими проекциями на оси абсолютной системы координат, которые совпадают в каждый момент с элементами матрицы соответственно: проекции вектор-функции совпадают с элементами первого столбца, — второго, — третьего столбца. Поэтому можем записать

,

, (2)

.

Разложения векторов , , по базису , , получаются дифференцированием по соотношений (2)

,

, (3)

.

Из них следует, что координаты векторов , , в абсолютной системе в момент времени совпадают с элементами соответствующих столбцов матрицы : координаты — с первым столбцом, — со вторым, — с третьим столбцом.

Вектор определяется либо дифференцированием вектора , т.е. = , либо по формуле

. (4)

В ней разложение векторов , , по базису , , в любой момент времени получается дифференцированием по соотношений (3). Таким образом, будем иметь

,

, (5)

.

Определение 3.

Вектором мгновенной угловой скорости и вектором мгновенного углового ускорения относительного движения твердого тела называются, соответственно, вектор мгновенной угловой скорости и вектор мгновенного углового ускорения твердого тела при его движении относительно подвижной системы координат , условно принимаемой неподвижной.

Из данного определения следует, что

= , (6)

. (7)

Здесь и означают условные производные первого и второго порядка от вектор-функций , заданных своими проекциями на оси подвижной системы через элементы матрицы ориентации твердого тела в подвижном пространстве. При таком дифференцировании базис , , системы условно принимается неподвижным.

Легко заметить, что выражения (6) и (7) для векторов и получаются из формул (1) и (4) путем замены в правых частях равенств (1) и (4):

– подвижного базиса , , переносного движения на базис связанной системы координат ;

– дифференцирования в абсолютной системе на условное дифференцирование .

Поскольку векторы , , в проекциях на базис , , «условно неподвижной» системы координат в момент времени задаются элементами соответствующих столбцов матрицы перехода от связанной системы к системе , то можем записать

,

, (8)

.

В (8) векторы , , , вообще говоря, зависят от . Однако в определении относительного движения твердого тела зависимость их от времени не учитывается. Движение твердого тела по отношению к системе отсчета является его движением в пространстве , условно принятом за абсолютное пространство.

Тем самым относительное движение тела определяется относительным движением полюса его связанной системы и движением базиса этой системы относительно базиса , , , условно принятого неподвижным.

Разложения векторов , , по базису , , получаются дифференцированием по соотношений (8), причем дифференцируются только направляющие косинусы , , а базис , , не дифференцируется:

,

, (9)

.

Аналогичным дифференцированием соотношений (9) строятся разложения векторов

,

,

.

Очевидно, для векторов и в любой момент времени справедливы формулы Эйлера-Пуассона

= , = , = . (10)

= , = , = . (11)

Соотношения (10) следуют из определения вектора мгновенной угловой скорости подвижной системы координат относительно абсолютного пространства (см. определение 4 в §2).

Формулы (11) вытекают из определения относительной производной от векторов , , , заданных своими проекциями на оси подвижной системы , и из определения 3 вектора мгновенной угловой скорости относительно системы (условно принятой неподвижной).