Ordm;. Общая схема построения кинематических уравнений Эйлера.

Вывод кинематических уравнений Эйлера, данный в п.1º, позволяет сформулировать общую схему построения кинематических уравнений, связывающих вектор угловой скорости с любыми другими углами ориентации и их производными по времени.

Общая схема построения этих уравнений такова.

1. В соответствии с заданной последовательностью поворотов вокруг координатных осей при вводе углов ориентации определяется последовательность угловых скоростей -ой системы координат относительно ( )-ой системы.

Вектор вычисляется по формуле

= ,

где — орт той оси, номер которой указывается в схеме на этапе ввода угла . Эта ось является общей для систем с номером и . Вокруг нее осуществляется поворот на угол при построении -ой системы координат.

Таким образом, в кинематической схеме вместе с углами ориентации

указываются вектора = , где — орт той оси, номер которой задан в схеме.

2. Применяется теорема о сложении угловых скоростей, и для вектора угловой скорости твердого тела записывается равенство

= = .

Оно рассматривается как векторное кинематическое уравнение, связывающее проекции вектора на оси выбранной системы отсчета с введенными углами ориентации и их производными.

Уравнение можно проектировать на связанные оси (или любые другие) и получать явную зависимость проекций вектора на выбранные оси от углов ориентации и их производных.

Покажем реализацию данного алгоритма построения кинематических уравнений на примере самолетных углов.

Для самолетных углов схема их ввода такова:

= , = , = .

Эта схема дополнена указанием угловых скоростей элементарных вращений. В ней = + . Тогда по теореме сложения угловых скоростей записываем векторное кинематическое уравнение

= + + . (3)

Проектируем векторное уравнение (3) на связанные оси. Умножим его последовательно скалярно на орты , , и учтем следующие соотношения, полученные при построении матрицы ориентации через самолетные углы:

( , , ( , ,

( , , ( , ,

( , , ( , .

В результате придем к трем скалярным уравнениям

= + , = + , = + .

Отсюда, разрешая относительно производных , , , находим кинематические уравнения для самолетных углов:

= , = + , = - .