Ordm;. Задача Дарбу.

В правые части кинематических уравнений, построенных в §4, входят функции , , , являющиеся проекциями вектора мгновенной угловой скорости на связанные с твердым телом оси. Если , , известны как функции времени, то кинематическая система уравнений становится замкнутой.

Поставим следующую задачу — определить ориентацию твердого тела, если известна его мгновенная угловая скорость в любой момент времени. Эта задача называется задачей Дарбу.

При известных начальных значениях углов ориентации решение задачи Дарбу сводится к построению решения задачи Коши для кинематических дифференциальных уравнений Эйлера, указанных в §4. Однако эти уравнения обладают следующими недостатками.

Во-первых, они являются нелинейными уравнениями относительно углов ориентации, что само по себе уже приводит к определенным трудностям их интегрирования.

Во-вторых, правые части уравнений имеют особенности; при некоторых значениях углов ориентации они не определены и, тем самым, эти значения углов являются критическими для данных кинематических уравнений. Следовательно, если твердое тело совершает одно из движений, на которых углы ориентации принимают критические значения хотя бы в один момент времени, то такое движение не будет решением данных уравнений. В связи с этим, для построения таких движений необходимо перейти к описанию ориентации твердого тела другими угловыми параметрами. А именно, перейти к описанию движений теми углами, критические значения которых отличаются от критических значений прежних углов ориентации. Затем построить соответствующие кинематические уравнения для новых углов и решать задачу Дарбу с использованием выведенных для них уравнений.

Такой процесс определения ориентации твердого тела по известной угловой скорости неизбежен при выборе в качестве расчетных любых углов ориентации (будут ли это углы Эйлера или самолетные, и т.д.), поскольку критические значения существуют для любых углов ориентации.

Ниже (в п.3º) показано, как избежать указанных трудностей в построении решения задачи Дарбу.