Задание 491 – 500.

Используя теорему о вычетах, вычислить заданный интеграл по замкнутому контуру С, обходимому против часовой стрелки.

Основные определения и теорема.

Точка называется полюсом к-того порядка функции , если

Пусть –полюс n-го порядка функции . Вычет функции относительно её полюса n-го порядка вычисляется по формуле

(residue– вычет).

Если –полюс первого порядка (простой полюс) функции , то

Пусть –аналитическая функция в замкнутой области , кроме конечного числа изолированных особых точек (полюсов или существенно особых точек). Тогда интеграл от функции по контуру , содержащему внутри себя эти точки и целиком лежащему в области , равен произведению на сумму вычетов в указанных особых точках, т.е.

.

(Основная теорема о вычетах).

Пример:

Найти Где –окружность, ,полюс ы i, –i, 2 находятся внутри замкнутого контура .

Отсюда

Типовые задачи по теме «Применение вычетов к вычислению интегралов» рассматривается в учебном пособии П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.М.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. гл.VII, §6.