Оценка точности косвенных измерений

Часто интересующая нас величина непосредственно не может бить измерена, а определяется как функция других величин, которые находятся опытным путем. Например, расход воздуха в прямоугольном канале

где - ширина канала, м; - высота канала, м; - средняя скорость воздуха, м/с.

Для определения расхода измеряют ширину, высоту канала и среднюю скорость воздуха. При измерениях величин , и допускаются погрешности. Оценка их может быть выполнена по рассмотренной методике.

Погрешность определяемой величины зависит не только от погрешностей измеряемых, но и от вида функциональной связи между ними [4; 6].

Предположим, что величина, погрешность которой необходимо определить является произвольной функцией двух измеряемых переменных х и у:

Подставим ряд параллельных опытов и по полученным данным найдем

Необходимо определить Для -го измерения , ,

Если функция непрерывна и во всех точках интересующего нас интервала и имеет производные, то ее, как известно, можно разложить ряд Тейлора. Выполним эту операцию и оставим в ряде только линейные члены:

Так как то

Возведем правую и левую части последнего равенства в квадрат и просуммируем данные по всем измерениям:

Если закон распределения погрешностей симметричный, например нормальный, то одинаково часто встречаются как со знаком "+", так и со знаком "-". Поэтому в последнем выражении

Следовательно,

Последнее равенство не нарушится, если все его члены разделить на .

Так как

то получим

Пример. Известно, что расход воды через треугольный водослив

,

где - уровень воды, м.

Относительная погрешность определения уровня . Определить относительную погрешность расхода.

В соответствии с полученным выше выражением

так как

то

После преобразования имеем

Таким образом, в условиях данного примера