Проверка гипотез о числовых значениях математических ожиданий

Для решения вопроса о соответствии произведенной продукции определенным требованиям (например, ГОСТ или ТУ), или выявлении преимуществ новой разработки по сравнению с существующими аналогами, возникает необходимость по выборочным средним значениям исследуемых случайных величин делать вывод о соответствующих им генеральных значениях математических ожиданий.

При этом может возникнуть задача (1) сравнения неизвестного математического ожидания , для которого получена оценка через выборочное среднее с конкретным числовым значением (например, с известным математическим ожиданием) или задача (2) сравнения двух математических ожиданий и , оцененным по двум выборочным средним и .

В первом случае в качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение о том, что оцененное математическое ожидание равно известному математическому ожиданию М ( ). В качестве альтернативной примем

Если генеральная дисперсия неизвестна и для нее сделана оценка , то используется критерий (распределения Стьюдента). статистика имеет вид: . Как и при построении доверительного интервала для математического ожидания, выбирается уровень значимости Для числа степеней свободы (c которым сделана оценка дисперсии) устанавливаются границы критической области по табличным значениям квантилей t-распределения. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что при выполнении неравенства:

В задаче (2), где сравниваются два неизвестных математических ожидания и , прежде всего, необходимо убедиться, что исследуемые выборки независимы между собой. После чего для двух нормально распределенных генеральных совокупностей с неизвестными параметрами которые характеризуются независимыми выборками с объемами, соответственно, , для сравнения выборочных средних выдвигается нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий: Альтернативную гипотезу можем сформулировать как

Как и в предыдущей задаче, используем критерий. Вид t-статистики зависит от того, равны , либо не равны между собой генеральные дисперсии (для ответа на этот вопрос можно воспользоваться критерием Фишера).

В первом случае (когда дисперсии не имеют значимого отличия) статистика принимает вид

двухвыборочный t-критерий с равными дисперсиями, где – обобщенное среднее квадратичное отклонение.

Во втором случае, когда дисперсии значимо отличаются друг от друга, статистика имеет вид:

двухвыборочный критерий с неравными дисперсиями.

В зависимости от условия решаемой задачи выбирается необходимый уровень значимости . Границы критической области устанавливаются по табличным значениям квантилей t-распределения. При этом число степеней свободы рассчитывается как .

Нулевую гипотезу принимают при выполнении неравенства

Рассмотрим наиболее типичную практическую задачу. Пусть усовершенствована какая-либо машина. Для оценки полезности реконструкции поставлен сравнительный эксперимент: проведен ряд измерений производительности до и после выполненной модернизации. В результате эксперимента получены две выборки. Первая - число измерений n₁ , математическое ожидание

и дисперсия (до реконструкции). Вторая - число опытов , математическое ожидание , дисперсия выборки (после реконструкции). При этом . Ставится вопрос: можно ли утверждать, что различие между и значимо? Иными словами, можно ли утверждать, что реконструкция дала положительные результаты?

Обозначим .

Если выйдет за пределы доверительного интервала , то будет значимой величиной.

Предположим, что различие между и незначимо, т.е. предположим .

Тогда доверительный интервал может быть найден как

Ранее было показано, что для оценки дисперсии косвенный измерений справедлива формула

Для рассматриваемой функции

Так как , то

Если и однородны, а только в этом случае можно сравнить и , то

или

В результате, искомый доверительный интервал

Критерий берется для соответствующего .уровня значимости и числа степеней свободы .

Если разность математических ожиданий попадает в построенный доверительный интервал, то гипотеза об эффективности модернизации оборудования отвергается. Если разность превышает доверительный интервал, то можно сделать вывод, что результаты имеют существенные различия и реконструкция дала значимый результат.