КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Для упрощения вычисления определителей используют следующие свойства определителей.
1) Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0. Пример: .
2) Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число , то и определитель матрицы умножится на это число . Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца. Примеры: ;
3) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: Пример: ; .
4) При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет свой знак на противоположный. Пример: ; ; .
5) Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0. Пример: .
6) Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0. Пример: Воспользуемся при вычислении свойствами 2) и 5) определителей:
7) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е. при i j. Пример: Посчитать: = 0 для данной матрицы . = .
8) Определитель матрицы не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число. Пример: Вычислить определитель матрицы С и матрицы С , полученной из матрицы С прибавлением ко второй строке матрицы С ее первой строки, умноженной на число -2:
Воспользуемся уже полученным результатом определителя матрицы С: Преобразуем матрицу С согласно свойству:
. Теперь вычислим определитель получившейся матрицы:
9) Сумма произведений произвольных чисел , ,…, на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равны определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа
10) Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , где А и В – матрицы n-го порядка.
Пример: вычислить с помощью свойств определителя определитель матрицы В четвертого порядка
.
Решение:
|