УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1) Правило нахождения определителей второго порядка можно записать в виде формулы:

Вычислить определители 2-го порядка матриц:

а) ; б) ; в) ; г) .

2) Для вычисления определителей третьего порядка используют правило Сарруса или правило треугольников, которое проще запоминается в виде следующих схем:

(+) (главная диагональ)

(-) (другая диагональ)

Вычислить определители 3-го порядка матриц по правилу Сарруса:

а) ; б) ; в) ;

3) Для вычисления определителей 4-го и более высокого порядка используют правило вычисления определителя методом разложения по элементам строки или столбца (по теореме Лапласа): определитель равен сумме произведений всех элементов какого-либо столбца (или строки) на соответствующие им алгебраические дополнения. Обычно вычисление проводится по элементам 1-й строки.

Можно использовать теорему Лапласа и для вычисления определителей 3-го порядка, когда разложение по первой строке имеет вид:

Вычислить определители 4-го и 3-го порядков:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Замечание: Для сокращения вычислений удобно определитель раскладывать по элементам той строки или столбца, где содержится наибольшее количество нулей.

В этом случае нужно находить алгебраическое дополнения к элементам, равным 0; если же строки или столбцы не содержат достаточного количества нулей, то удобно провести эквивалентные преобразования. Используют правило: если ко всем элементам строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца); умноженные на одно и то же число; то определитель не изменяется.

III. «РАНГ МАТРИЦЫ»

Для решения и исследования некоторых математических и прикладных задач большое значение имеет понятие ранга матрицы.

Рассмотрим матрицу А размера .

В матрице А размера вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где (меньшего из т и п). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А. Один элемент матрицы называют минором первого порядка.

Из матрицы А размером можно получить подматрицы 1-го, 2-го, 3-го порядков.

Пример: Выделим указанные подматрицы из данной матрицы и запишем их миноры.

Решение:

Некоторые подматрицы первого порядка А =

некоторые подматрицы второго порядка А =

некоторые подматрицы третьего порядка А = .