Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



Простая случайная бесповторная выборка




Читайте также:
  1. Cерийная выборка
  2. Аудиторская выборка
  3. База исследования и выборка
  4. Билет №1. Дискретная случайная величина, закон и функция распределения
  5. Билет №14. Средняя гармоническая: простая и взвешенная; особенности применения
  6. Более простая техника для начинающих
  7. Вариационные ряды. Генеральная совокупность и выборка
  8. Выборка из нескольких таблиц.
  9. Двумерная случайная величина.
  10. Дискретная случайная величина. Закон распределения.

При оценке генеральных характеристик мы исходили из того, что выборка была произведена по схеме повторного случайного отбора. В случае бесповторной случайной выборки применяют те же формулы, что и для повторной выборки, но вычисление средних квадратических отклонений производится с поправочным коэффициентом.

. (1.26)

Оценка генеральной доли для бесповторной выборки есть .

Теорема. Выборочная доля бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка генеральной доли , причем её дисперсия

. (1.27)

Доказательство. мМтематическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, поэтому и для бесповторной выборки М , т.е. - несмещённая оценка для

Рассмотрим теперь дисперсию бесповторной выборки:

.

Случайная величина m в случае бесповторной выборки имеет гипергеометрическое распределение и

Подставим его в (*), получим:

При , т.е. если объём выборки много меньше N, можно считать, что выборка практически не отличается от повторной и дисперсии их приближённо равны, т.е.

Если то выборочная доля будет совпадать с генеральной, и её дисперсия будет равна нулю.

Рассмотрим теперь оценку генеральной средней для бесповторной выборки.

Теорема: бесповторной выборки есть несмещенная и состоятельная оценка для генеральной средней , причем

(1.28)

Доказательство.Пусть X1, X2,…,Xk – зависимые случайные величины. все они распределены так же, как и в повторной выборке, с теми же частотами, что и в генеральной совокупности.

При этом E(xi) = – генеральная дисперсия.

Обозначим

(1.29)

Если , то С – генеральная дисперсия ( ),

Если , то С – ковариация (C = Cov(xi,xj)).

Выделим из слагаемых те n слагаемых, где , тогда

Пусть теперь объём выборки n = N, тогда x1,x2,…, xn – не случайные величины, и дисперсия такой «выборки» D = 0, т.е. 0.

Отсюда . Подставим это в последнее. равенство

.

Теорема о несмещённости и состоятельности оценки генеральной средней и об оценке дисперсии бесповторной выборки полностью доказана.

Пример 1.22. Для определения доли стандартных изделий в партии, содержащей 2500 деталей, произвели случайную бесповторную выборку объёмом 400 деталей.Доля стандартных деталей в ней оказалась равной 0,95. Известно также, что при повторной выборке того же объёма среднеквадратичное отклонение составляло Найти доверительную вероятность, если допустимая погрешность при определении этой доли равна ±2%



Решение.По условию ;N= 2500;

. Найти .

1)

2)

3)

Пример 1.23. Выборочная совокупность объёмом 900 единиц является бесповторной и выделена из генеральной совокупности объемом 4500 единиц, при этом . Определить доверительные границы при оценке генеральной средней, которые можно гарантировать с вероятностью 0,95.

Решение.По условию . Найти или .

1)

2) Так как , то по таблицам

3) .

Доверительные границы: 15,5 - 0,23 и 15,5 + 0,23, т.е.

Заметим, что ошибка приближенного равенства для бесповторной выборки может быть вычислена по формуле:

(1.30)


Дата добавления: 2014-12-23; просмотров: 25; Нарушение авторских прав







lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2022 год. (0.013 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты