IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Даны векторы и . Найти координаты векторных произведений: 1) ; 2) .

Решение.

Воспользуемся свойствами векторного произведения:

1)

. Следовательно, .

2)

.

Следовательно, = .

Задача 2. Найдите вектор , зная, что он перпендикулярен векторам , и удовлетворяет условию .

Решение.

Вектор перпендикулярен векторам и , значит он коллинеарен векторному произведению . Вычислим координаты векторного произведения:

.

.

Найдем скалярное произведение векторов:

С другой стороны . Следовательно, имеем . Тогда .

Задача 3. Векторы и связаны соотношениями , . Доказать коллинеарность векторов и .

Решение.

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

. Следовательно, векторы и – коллинеарны.

Задача 4. Даны вершины треугольника А (1;-1;2), В (5;-6;2) и С (1;3;-1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на АС.

Найдем .

.

С другой стороны,

. Тогда, .

Ответ: h = 5.

Задача 5. Даны векторы и . Вычислите площадь параллелограмма, для которого векторы и являются диагоналями.

Выразим стороны параллелограмма АД и АВ через векторы и .

; .

Площадь параллелограмма вычислим по формуле: .

.

Найдем .

.

Ответ: .

Задача 6. Сила приложена к точке М₀(4;-2;3). Определить момент этой силы относительно точки А(3;2;–1).

Решение.

Если вектор изображает силу, приложенную к какой-нибудь точке М₀, а вектор идет из некоторой точки А в точку М₀, то вектор представляет собой момент силы относительно точки А.

Найдем координаты и .

.

.

Следовательно, момент силы равен вектору .