III. Примеры решения задач. Задача 1. Вычислите смешанное произведение векторов , , : а)

Задача 1. Вычислите смешанное произведение векторов , , : а) = 3 + + 2 – 5 , = – , = 2 – 4 ; б) .

Решение.

а) = 3 + 2 – 5 , следовательно, .

= – ; = 2 – 4 .

+ = 12 – 10 + 8 = 10.

б)

+ .

Задача 2. Установить, компланарны ли векторы , , , если:

а) ;

б) .

Решение.

Воспользуемся достаточным условием компланарности трех векторов:

а) . Векторы , , не компланарны.

б) . Векторы , , компланарны.

Задача 3. Доказать, что четыре точки А(1;2;–1), В(0;1;5), С(–1;2;1), Д(2;1;3) лежат в одной плоскости.

Решение:

Четыре точки А, В, С, Д лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и – компланарны.

– 2 = 0. Векторы компланарны. Следовательно, точки А, В, С, Д лежат в одной плоскости.

Задача 4. Дан тетраэдр АВСД, в котором А(–1;1;1), В(0;5;–3), С(–1;4;–2).

Найдите координаты точки Д, если известно, что она лежит на оси Oz, а объем тетраэдра равен 7.

V =

Но объем тетраэдра равен 7, следовательно,

,

3z – 6 = 42 или 3z – 6 = – 42

3z = 48 3z = – 36

z = 16 z = – 12

Ответ: Д(0;0;16) или Д(0;0;–12).

Задача 5. Найти длину вектора ДН тетраэдра АВСД, вершины которого находятся в точках А(2;–4;5), В(–1;–3;4), С(5;5;–1), Д(1;–2;2).

	Решение. Объем тетраэдра АВСД вычисляется по формуле , где Отсюда следует, что Вычислим объем тетраэдра, используя геометрический смысл смешанного произведения векторов: Vтетр =

Векторы имеют следующие координаты: .

+ ) = 81 + 6 – 6 – 9 + 9 – 36 = 45.

Следовательно, V_тетр = .

Вычислим теперь площадь основания тетраэдра, т.е. площадь треугольника АВС, используя геометрический смысл операции векторного произведения векторов:

Отсюда, ДН = .

Ответ: .