Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника



III. Примеры решения задач. Задача 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через: а) точку М(3;-1;-5) параллельно векторам и ; б) три точки М(1;1;1)

Читайте также:
  1. Gt; во-вторых, когнитивной оценкой (cognitive appraisal), которую человек дает событию, требующему разрешения.
  2. II. Примеры проективных методик
  3. III. Примеры решения задач.
  4. III. Примеры решения задач.
  5. IV. Примеры решения задач.
  6. IV. Примеры решения задач.
  7. IV. Примеры решения задач.
  8. IV. Примеры решения задач.
  9. IV. Примеры решения задач.

Задача 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через: а) точку М(3;-1;-5) параллельно векторам и ; б) три точки М(1;1;1), К(2;0;-1), Р(3;4;5). Указать их расположение относительно системы координат.

Решение.

а) Воспользуемся каноническим уравнением плоскости и преобразуем его: ;

;

;

Получим уравнение плоскости:

.

Так как все коэффициенты в уравнении плоскости отличны от нуля, то плоскость пересекает все три оси координат и не проходит через начало.

б) Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

.

Преобразуем его:

;

Получим уравнение плоскости:

Плоскость пересекает все три оси координат и не проходит через начало.

 

Задача 2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(2;–1;4) перпендикулярно плоскостям , .

Решение.

Векторы нормалей и данных плоскостей параллельны искомой плоскости и не коллинеарны, так как их соответствующие координаты не пропорциональны. Воспользуемся уравнением плоскости, заданной точкой и направляющими векторами:

,

,

.

Уравнение искомой плоскости имеет вид: .

 

Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка с концами в точках М1(3;–1;2) и М2(4;–2;–1) перпендикулярно к нему.

Решение.

Середина отрезка, точка М имеет координаты:

, , , .

Вектор перпендикулярен плоскости по условию задачи, т.е. является вектором нормали плоскости. Воспользуемся уравнением плоскости в прямоугольно декартовой системе координат:

,

.

Уравнение искомой плоскости имеет вид: .

 

Задача 4. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору и отсекающей на координатных осях Ox и Oy отрезки а = 3, b = –2.

Решение.

Воспользуемся уравнением плоскости «в отрезках»:

.

Преобразуем это уравнение:

.

Плоскость параллельна вектору , следовательно, используя необходимое и достаточное условия параллельности вектора плоскости, заданной общим уравнением, получим:

Тогда уравнение искомой плоскости имеет вид:

,

.

 

Задача 5. Составить уравнение касательной плоскости к сфере в точке М0(0;1;3).

Решение.

Точка М0(0;1;3) принадлежит сфере, т.к. ее координаты удовлетворяют уравнению сферы и она принадлежит касательной плоскости по условию задачи, следовательно, точка М0 является точкой касания сферы и плоскости. По свойству касательной плоскости к сфере имеем, что радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной плоскости, т.е. является вектором нормали к плоскости.



Центр сферы имеет координаты О(2;3;-1), тогда . Воспользуемся уравнением плоскости в прямоугольно декартовой системе координат:

,

.

Уравнение искомой плоскости имеет вид: .

 


Дата добавления: 2014-12-30; просмотров: 56; Нарушение авторских прав


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
II. Упражнения. | IV. Задачи для самостоятельной работы.
lektsii.com - Лекции.Ком - 2014-2019 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав
Главная страница Случайная страница Контакты